Seja T(x, y, z, w)=(3 x+y, x+3 y, 2 z, 4 w).
Encontre seus autovalores e determine suas multiplicidades algébricas e geométricas.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^4toR^4, T(x,y,z,w) = (3x+y,;x+3y,;2z,;4w)
O objetivo é encontrar seus autovalores e, para cada um, determinar a multiplicidade algébrica (m.a.) e a multiplicidade geométrica (m.g.). Vamos aproveitar que T é um operador em blocos: uma matriz 2times2 no subespaço (x,y) e ações escalares em z e w.

Passo 2

Escrevendo T em base canônica, sua matriz é em blocos
[T] = 3 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 4 =A&00&D,
onde
A = 3&11&3, D = diag(2,4)

Passo 3

Calculamos os autovalores de A. A equação característica é
det(A-lambda I) = det3-lambda & 11 & 3-lambda =(3-lambda)^2 -1 =lambda^2 -6lambda+8=0
As raízes são
lambda =2 ou lambda=4,
cada uma com multiplicidade 1 no bloco A.

Passo 4

Como D é diag(2,4), os autovalores de T são aqueles de A juntos com 2 e 4 vindos de D. Logo:
  • lambda=2 aparece uma vez em A e uma vez em D, totalizando m.a. =2.
  • lambda=4 aparece uma vez em A e uma vez em D, totalizando m.a. =2.

Passo 5

Para [\lambda=2), resolvemos . Escrevendo :
  1. No bloco :
Isso gera um espaço de dimensão 1 em ((x,y)].
  1. Na coordenada : livre, mais uma dimensão.
  2. Na coordenada : obriga .
Logo o espaço próprio de é
de dimensão .

Passo 6

Para [\lambda=4), resolvemos . Com :
  1. No bloco :
que dá dimensão 1 em ((x,y)].
  1. Na coordenada : livre, mais uma dimensão.
  2. Na coordenada : obriga .
Assim o espaço próprio de é
de dimensão .

Resposta

Os autovalores de T e suas multiplicidades são:
lambda=2: m.a. =2, m.g. =2.
lambda=4: m.a. =2, m.g. =2.

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