Faça o que se pede:
Seja
. Encontre uma base ortonormal para
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base ortonormal para o complemento ortogonal de
, onde
é o conjunto de todos os vetores da forma
com
reais. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e complementar ortogonal, então vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como bases, ortogonalidade e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar uma base para o espaço
. Sabemos que
é formado por combinações lineares de
e
, então podemos expressar
como sendo gerado por dois vetores:
Esses vetores são obtidos substituindo
e
na expressão de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, o complemento ortogonal de
. Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
. Para encontrar
, precisamos resolver o sistema de equações onde o produto escalar de um vetor genérico
com cada um dos vetores da base de
é zero.
Passo 4
Vamos escrever as equações de ortogonalidade:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações lineares:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para expressar
e
em termos de
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, os vetores em
podem ser escritos como:
Podemos fatorar
e
:
Portanto, uma base para
é formada pelos vetores:
Passo 6
Agora, precisamos ortonormalizar essa base. Vamos usar o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, normalizamos
:
Em seguida, projetamos
sobre
e subtraímos para obter o vetor ortogonal:
Simplificando:
Agora, normalizamos
:
Então,
Resposta
A base ortonormal para
é composta por: