Faça o que se pede:
Seja W=(x, y, 2 x-y,-x+3 y) ; x, y in R. Encontre uma base ortonormal para W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base ortonormal para o complemento ortogonal de W , onde W é o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, 2x - y, -x + 3y) com x, y reais. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e complementar ortogonal, então vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como bases, ortogonalidade e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar uma base para o espaço W . Sabemos que W é formado por combinações lineares de x e y , então podemos expressar W como sendo gerado por dois vetores:
v1 = (1, 0, 2, -1)
v2 = (0, 1, -1, 3)
Esses vetores são obtidos substituindo x = 1, y = 0 e x = 0, y = 1 na expressão de W .

Passo 3

Agora, queremos encontrar W^perp , o complemento ortogonal de W . Isso significa que W^perp é o conjunto de todos os vetores em R^4 que são ortogonais a todos os vetores em W . Para encontrar W^perp , precisamos resolver o sistema de equações onde o produto escalar de um vetor genérico (a, b, c, d) com cada um dos vetores da base de W é zero.

Passo 4

Vamos escrever as equações de ortogonalidade:
v1 cdot (a, b, c, d) = 1 cdot a + 0 cdot b + 2 cdot c + (-1) cdot d = 0
v2 cdot (a, b, c, d) = 0 cdot a + 1 cdot b + (-1) cdot c + 3 cdot d = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações lineares:
a + 2c - d = 0
b - c + 3d = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para expressar a e b em termos de c e d :
Da primeira equação:
a = -2c + d
Da segunda equação:
b = c - 3d
Então, os vetores em W^perp podem ser escritos como:
(a, b, c, d) = (-2c + d, , c - 3d, , c, , d)
Podemos fatorar c e d :
c(-2, 1, 1, 0) + d(1, -3, 0, 1)
Portanto, uma base para W^perp é formada pelos vetores:
u1 = (-2, , 1, , 1, , 0)
u2 = (1, , -3, , 0, , 1)

Passo 6

Agora, precisamos ortonormalizar essa base. Vamos usar o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, normalizamos u1 :
|u1| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
e1 = u1|u1| = ( -2raiz6, , 1raiz6, , 1raiz6, , 0 )
Em seguida, projetamos u2 sobre e1 e subtraímos para obter o vetor ortogonal:
proje1 u2 = ( u2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1
u2 cdot e1 = (-2)(1/raiz6) + 1(-3/raiz6) + 0(1/raiz6) + 1(0) = -2 -3raiz6 = -5raiz6
proje1 u2 = -5raiz6 cdot e1 = -56 (-2, 1, 1, 0) = ( 106, , -56, , -56, , 0 )
v = u2 - proje1 u2 = (1 - 106, , -3 - ( -56 ), , 0 - ( -56 ), , 1 - 0 ) = ( -46, , -136, , 56, , 1 )
Simplificando:
v = ( -23, , -136, , 56, , 1 )
Agora, normalizamos v :
|v| = raiz(-23)^2 + (-136)^2 + (56)^2 + 1^2 = raiz49 + 16936 + 2536 + 1 = raiz1636 + 16936 + 2536 + 3636 = raiz24636 = raiz416 = raiz2466
Então,
e2 = v|v| = ( -2/3raiz41/6, , -13/6raiz41/6, , 5/6raiz41/6, , 1raiz41/6 )

Resposta

A base ortonormal para W^perp é composta por:
e1 = ( -2raiz6, , 1raiz6, , 1raiz6, , 0 )
e2 = ( -2raiz246, , -13raiz246, , 5raiz246, , 6raiz246 )

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