Responda as seguintes questões:
Se A é uma matriz diagonal, o que pode ser afirmado sobre A^T? Exiba um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede que, sabendo que A é uma matriz diagonal, descubramos o que ocorre com o transposto A^T. Vamos usar conceitos de matriz diagonal e definição de transposição.

Passo 2

Uma matriz A=(aij)inR^ntimes n é diagonal se
aij=0sempre que ineq j
Ou seja, apenas as entradas a11,a22,dots,ann podem ser não nulas.

Passo 3

Por definição, o transposto A^T tem entradas
(A^T)ij=aji
Como em A temos aji=0 sempre que jneq i, segue que
(A^T)ij=0para ineq j e (A^T)ii=aii
Logo, A^T continua diagonal e coincide com A, ou seja,
A^T = A

Passo 4

Exemplo concreto:
A = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Calculando o transposto,
A^T = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 = A

Resposta

Podemos afirmar que o transposto de uma matriz diagonal é a própria matriz, isto é,
A^T = A
Exemplo:
1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ^T = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

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