Faça o que se pede:
Seja W subset V um subespaço vetorial de V. Mostre que W^perp também é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dado um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V , o conjunto W^perp (o complemento ortogonal de W ) também é um subespaço de V . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e o que significa ser o complemento ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de V é um subespaço vetorial se:
  1. Ele contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Agora, o complemento ortogonal W^perp é o conjunto de todos os vetores em V que são ortogonais a todos os vetores em W . Ou seja:
W^perp = v in V mid lang<= v, w rang<= = 0 para todo w in W
onde lang<= cdot , cdot rang<= representa o produto interno em V .

Passo 3

Para mostrar que W^perp é um subespaço vetorial, precisamos verificar as três condições que mencionamos:
  1. Contém o vetor zero: Vamos ver se o vetor zero está em W^perp .
  2. Fechado sob adição: Se v e u estão em W^perp , então v + u também está?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se v está em W^perp e c é um escalar, então c cdot v também está?

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero, 0 , sempre satisfaz lang<= 0, w rang<= = 0 para qualquer w em W . Portanto, 0 in W^perp .
2. Fechado sob adição:
Sejam v e u em W^perp . Então, para qualquer w em W :
lang<= v + u, w rang<= = lang<= v, w rang<= + lang<= u, w rang<= = 0 + 0 = 0
Portanto, v + u in W^perp .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se v in W^perp e c é um escalar, então para qualquer w em W :
lang<= c cdot v, w rang<= = c cdot lang<= v, w rang<= = c cdot 0 = 0
Assim, c cdot v in W^perp .

Resposta

Como W^perp satisfaz todas as três condições de ser um subespaço vetorial, concluímos que W^perp é, de fato, um subespaço de V .

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