Faça o que se pede:
Seja
um subespaço vetorial de
. Mostre que
também é.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dado um subespaço vetorial
de um espaço vetorial
, o conjunto
(o complemento ortogonal de
) também é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e o que significa ser o complemento ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se:
- Ele contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Agora, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
. Ou seja:
onde
representa o produto interno em
.
Passo 3
Para mostrar que
é um subespaço vetorial, precisamos verificar as três condições que mencionamos:
- Contém o vetor zero: Vamos ver se o vetor zero está em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está?
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero, , sempre satisfaz
para qualquer
em
. Portanto,
.
O vetor zero,
2. Fechado sob adição:
Sejam e
em
. Então, para qualquer
em
:
Sejam
Portanto,
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se e
é um escalar, então para qualquer
em
:
Se
Assim,
.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições de ser um subespaço vetorial, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.