Faça o que se pede:
Seja
. Mostre que se
então
é inversível.
Seja
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
e queremos mostrar que, se o núcleo de
é apenas o vetor zero (
), então
é inversível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou espaço nulo), injetividade e invertibilidade de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
Quando dizemos que
, isso significa que o único vetor que
envia para zero é o vetor zero mesmo.
Passo 3
Esse fato nos diz que a transformação
é injetora. Em outras palavras, se
, então necessariamente
. Isso ocorre porque se
, então
. Como
, temos que
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, para uma transformação linear de um espaço vetorial
para ele mesmo (
), se
é injetora, então ela também é sobreyetora. Isso acontece porque, em espaços com dimensões iguais no domínio e no contradomínio, injetividade implica sobrejetividade.
Passo 5
Como
é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que
é bijetora. E uma transformação linear bijetora tem uma transformação inversa
que também é linear. Portanto,
é inversível.
Resposta
Assim, mostramos que se
, então a transformação linear
é inversível.