Faça o que se pede:
Seja T: V longrightarrow V. Mostre que se N(T)=0V então T é inversível.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: V longrightarrow V e queremos mostrar que, se o núcleo de T é apenas o vetor zero ( N(T) = 0 ), então T é inversível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo (ou espaço nulo), injetividade e invertibilidade de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo N(T) é o conjunto de todos os vetores v in V que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
N(T) = v in V mid T(v) = 0
Quando dizemos que N(T) = 0 , isso significa que o único vetor que T envia para zero é o vetor zero mesmo.

Passo 3

Esse fato nos diz que a transformação T é injetora. Em outras palavras, se T(v1) = T(v2) , então necessariamente v1 = v2 . Isso ocorre porque se T(v1) = T(v2) , então T(v1 - v2) = 0 . Como N(T) = 0 , temos que v1 - v2 = 0 , ou seja, v1 = v2 .

Passo 4

Agora, para uma transformação linear de um espaço vetorial V para ele mesmo ( T: V longrightarrow V ), se T é injetora, então ela também é sobreyetora. Isso acontece porque, em espaços com dimensões iguais no domínio e no contradomínio, injetividade implica sobrejetividade.

Passo 5

Como T é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que T é bijetora. E uma transformação linear bijetora tem uma transformação inversa T^-1 que também é linear. Portanto, T é inversível.

Resposta

Assim, mostramos que se N(T) = 0 , então a transformação linear T é inversível.

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