Faça o que se pede.
Seja z=2 x+y a equação geral do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,1,3). Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1). E determine a equação da reta normal no ponto ( 1,1,3 ).

Passo 1

Temos uma superfície z=f(x,y) e sabemos que o plano tangente em (1,1,3) é dado por
z = 2x + y
A tarefa é encontrar partial fpartial x(1,1), partial fpartial y(1,1) e a equação da reta normal à superfície nesse ponto.

Passo 2

A equação do plano tangente em função das derivadas parciais é
z - f(1,1) ;=; fx(1,1),(x-1) ;+; fy(1,1),(y-1)
Como f(1,1)=3, isso fica
z - 3 = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1)

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito:
z = fx(1,1),x + fy(1,1),y +l(3 - fx(1,1)-fy(1,1)r)
Comparando com z=2x+y, igualamos coeficientes:
fx(1,1)=2, fy(1,1)=1,
e o termo constante 3 - fx - fy fica 3-2-1=0, compatível com o plano dado.

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente vem dos coeficientes de
2x + y - z = 0,
isto é n = (2,,1,,-1). A reta normal em (1,1,3) com direção n pode ser escrita em forma vetorial:
(x,y,z) = (1,1,3) + t,(2,1,-1)
Em forma simétrica:
x-12 ;=;y-11;=;z-3-1

Resposta

fx(1,1)=2, fy(1,1)=1
Reta normal: (x,y,z)=(1,1,3)+t,(2,1,-1), ou tfracx-12=tfracy-11=tfracz-3-1.

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