O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
g(x)=cos x, [0, pi / 2]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor médio da função g(x) = cos x no intervalo [0, pi/2]. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função contínua.

Passo 2

A fórmula para o valor médio Mf de uma função f(x) no intervalo [a, b] é:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
No nosso caso, f(x) = cos x , a = 0 e b = pi/2 .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Mg = 1pi/2 - 0 integral0^pi/2 cos x , dx
Simplificando o denominador:
pi/2 - 0 = pi/2
Então, a expressão fica:
Mg = 1pi/2 integral0^pi/2 cos x , dx = 2pi integral0^pi/2 cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de cos x de 0 a pi/2 :
integral cos x , dx = sin x + C
Aplicando os limites:
integral0^pi/2 cos x , dx = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 5

Substituindo o valor da integral na expressão do valor médio:
Mg = 2pi times 1 = 2pi

Resposta

O valor médio da função g(x) = cos x no intervalo [0, pi/2] é Mg = dfrac2pi .

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