O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
g(x)=raizx, [1,4]

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor médio da função g(x) = raizx no intervalo de x que vai de 1 até 4. Pra isso, vamos usar a fórmula do valor médio que envolve calcular uma integral. Basicamente, a gente vai ver qual é a “média” dos valores que a função assume nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do valor médio de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b]:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Aqui, a = 1 e b = 4 , e nossa função é g(x) = raizx . Então, vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de raizx de 1 a 4. Primeiro, precisamos achar a antiderivada de raizx . Sabemos que:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C
Onde C é a constante de integração. Mas como vamos calcular uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C . Então, aplicando os limites:
integral1^4 raizx , dx = [ 23 x^3/2 ]1^4 = 23 (4^3/2) - 23 (1^3/2)
Calculando 4^3/2 e 1^3/2 :
4^3/2 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8
1^3/2 = ( raiz1 )^3 = 1^3 = 1
Então:
integral1^4 raizx , dx = 23 (8) - 23 (1) = 163 - 23 = 143

Passo 4

Agora que temos o valor da integral, vamos calcular o valor médio usando a fórmula:
Mg = 14 - 1 times 143 = 13 times 143 = 149

Resposta

O valor médio da função g(x) = raizx no intervalo [1, 4] é 149 .

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