Faça o que se pede:
Seja T(x, y z)=(2 x+y, 3 y+z, x+4 z). Mostre, usando o item a), que T é invertível. Qual sua inversa?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que recebe três números x, y, z e retorna três outros números. O enunciado quer que a gente mostre que essa transformação é invertível e, se for, encontre a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes. Precisamos montar a matriz de T , verificar se o determinante dela é diferente de zero (o que garante que T é invertível) e, se sim, calcular a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação [T) na forma de matriz. A transformação dada é:
Isso significa que:
Podemos representar isso como uma matriz :
Então, pode ser representada por .

Passo 3

Para verificar se T é invertível, precisamos calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, A (e, portanto, T ) é invertível.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 1 & 0 & 4
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular:
det(A) = 2 cdot (3 cdot 4 - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 4 - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - 3 cdot 1)
det(A) = 2 cdot 12 - 1 cdot (-1) + 0 cdot (-3)
det(A) = 24 + 1 + 0 = 25
Como det(A) = 25 neq 0 , a transformação T é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que T é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser calculada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A . Vamos calcular os cofatores e, em seguida, a adjunta.
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de A :
Cofator11 = 3 & 1 0 & 4 = (3 cdot 4) - (1 cdot 0) = 12
Cofator12 = - 0 & 1 1 & 4 = -((0 cdot 4) - (1 cdot 1)) = -(-1) = 1
Cofator13 = 0 & 3 1 & 0 = (0 cdot 0) - (3 cdot 1) = -3
Cofator21 = - 1 & 0 0 & 4 = -((1 cdot 4) - (0 cdot 0)) = -4
Cofator22 = 2 & 0 1 & 4 = (2 cdot 4) - (0 cdot 1) = 8
Cofator23 = - 2 & 1 1 & 0 = -((2 cdot 0) - (1 cdot 1)) = -(-1) = 1
Cofator31 = 1 & 0 3 & 1 = (1 cdot 1) - (0 cdot 3) = 1
Cofator32 = - 2 & 0 0 & 1 = -((2 cdot 1) - (0 cdot 0)) = -2
Cofator33 = 2 & 1 0 & 3 = (2 cdot 3) - (1 cdot 0) = 6
Agora, a matriz de cofatores é:
Cof(A) = 12 & 1 & -3 -4 & 8 & 1 1 & -2 & 6
A matriz adjunta adj(A) é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = 12 & -4 & 1 1 & 8 & -2 -3 & 1 & 6
Agora, calculamos a inversa:
A^-1 = 125 cdot 12 & -4 & 1 1 & 8 & -2 -3 & 1 & 6
Simplificando, temos:
A^-1 = 1225 & -425 & 125 125 & 825 & -225 -325 & 125 & 625

Resposta

A transformação T é invertível e a sua inversa é dada por:
T^-1(u, v, w) = ( 1225u - 425v + 125w, 125u + 825v - 225w, -325u + 125v + 625w )

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