Responda as seguintes questões:
Se A é uma matriz triangular superior, o que pode ser afirmado sobre A^2? Exiba um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre matrizes triangulares superiores: se A é triangular superior, o que acontece com A^2? O conteúdo é propriedade de matrizes triangulares e como a multiplicação preserva essa estrutura.

Passo 2

Uma matriz A=(aij) é triangular superior se aij=0 sempre que i>j. Ao calcular o produto
(A^2)ij=sumk=1^naik,akj,
para i>j cada termo da soma tem ou aik=0 (quando i>k) ou akj=0 (quando k>j), de modo que (A^2)ij=0. Logo, A^2 também é triangular superior. Além disso, na diagonal principal
(A^2)ii=sumk=1^naik,aki=aii^2,
pois só o termo k=i contribui.

Passo 3

Exemplo em dimensão 3. Seja
A = 2 & 1 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6
Calculando A^2:
A^2 = 2cdot 2 + 1cdot 0 + 3cdot 0 & 2cdot 1 + 1cdot 4 + 3cdot 0 & 2cdot 3 + 1cdot 5 + 3cdot 6[6pt] 0 & 0cdot 1 + 4cdot 4 + 5cdot 0 & 0cdot 3 + 4cdot 5 + 5cdot 6[6pt] 0 & 0 & 6cdot 6 = 4 & 6 & 29 0 & 16 & 50 0 & 0 & 36 ,
que é novamente triangular superior.]

Resposta

A^2 é triangular superior, e um exemplo concretiza isso:
A = 2 & 1 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 ;Longrightarrow; A^2 = 4 & 6 & 29 0 & 16 & 50 0 & 0 & 36

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