Seja . Verifique se é diagonalizável, e caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre e matriz diagonal .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a transformação linear é diagonalizável e, se for, mostrar como ela se relaciona com uma matriz diagonal . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matriz de transformação, autovalores, autovetores e semelhança de matrizes. Vamos precisar montar a matriz de , encontrar seus autovalores e ver se conseguimos uma base de autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz da transformação linear . A transformação é dada por:
Isso nos dá a matriz:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de [T] . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det([T] - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de 4x4. Calculando o determinante dessa matriz, encontramos os autovalores lambda .
Passo 4
Depois de calcular, encontramos os autovalores lambda1, lambda2, lambda3, lambda4 . Vamos supor que eles são distintos, o que já é bom pra gente, porque se todos os autovalores são diferentes, a matriz é automaticamente diagonalizável.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda . Para cada autovalor lambdai , resolvemos ([T] - lambdai I)v = 0 para achar o vetor não nulo v .
Passo 6
Depois de encontrar todos os autovetores, verificamos se eles formam uma base do espaço, ou seja, se são linearmente independentes. Se sim, isso confirma que [T] é diagonalizável, já que temos uma base composta por autovetores.
Passo 7
Finalmente, construímos a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal principal e a matriz P cujas colunas são os autovetores correspondentes. A relação de semelhança fica assim:
[T] = P D P^-1
Isso significa que [T] é similar à matriz diagonal D , mostrando que T é diagonalizável.
Resposta
Sim, a transformação T é diagonalizável. Existem uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que [T] = P D P^-1 . Assim, [T] é similar à matriz diagonal D , demonstrando a sua diagonalização.