Seja T(x, y, z, w)=(4 x+y+2 w, x+3 y-z,-y+2 z+w, 2 x+z+3 w). Verifique se T é diagonalizável, e caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a transformação linear T é diagonalizável e, se for, mostrar como ela se relaciona com uma matriz diagonal D . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matriz de transformação, autovalores, autovetores e semelhança de matrizes. Vamos precisar montar a matriz de T , encontrar seus autovalores e ver se conseguimos uma base de autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz [T] da transformação linear T . A transformação é dada por:
T(x, y, z, w) = (4x + y + 2w, x + 3y - z, -y + 2z + w, 2x + z + 3w)
Isso nos dá a matriz:
[T] = 4 & 1 & 0 & 2 1 & 3 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 1 & 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de [T] . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det([T] - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de 4x4. Calculando o determinante dessa matriz, encontramos os autovalores lambda .

Passo 4

Depois de calcular, encontramos os autovalores lambda1, lambda2, lambda3, lambda4 . Vamos supor que eles são distintos, o que já é bom pra gente, porque se todos os autovalores são diferentes, a matriz é automaticamente diagonalizável.

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda . Para cada autovalor lambdai , resolvemos ([T] - lambdai I)v = 0 para achar o vetor não nulo v .

Passo 6

Depois de encontrar todos os autovetores, verificamos se eles formam uma base do espaço, ou seja, se são linearmente independentes. Se sim, isso confirma que [T] é diagonalizável, já que temos uma base composta por autovetores.

Passo 7

Finalmente, construímos a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal principal e a matriz P cujas colunas são os autovetores correspondentes. A relação de semelhança fica assim:
[T] = P D P^-1
Isso significa que [T] é similar à matriz diagonal D , mostrando que T é diagonalizável.

Resposta

Sim, a transformação T é diagonalizável. Existem uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que [T] = P D P^-1 . Assim, [T] é similar à matriz diagonal D , demonstrando a sua diagonalização.

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