Seja T(x, y, z, w)=(3 x+y, x+3 y, 2 z, 4 w).
Verifique se T é diagonalizável, e caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^4to R^4, T(x,y,z,w)=(3x+y,;x+3y,;2z,;4w)
e pede para verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir explicitamente a semelhança entre a matriz de T na base canônica e uma matriz diagonal D. Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e mudança de base.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, a matriz de T é
A = [T], E = 3 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 4

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico de A. Como é bloco diagonal,
det(A - lambda I) =det!3-lambda&11&3-lambda,(2-lambda)(4-lambda) =((3-lambda)^2-1)(2-lambda)(4-lambda)
Isto fatoriza como
(lambda-4)(lambda-2),(2-lambda)(4-lambda) =(lambda-4)^2(lambda-2)^2,
logo os autovalores são lambda=4 e lambda=2, cada um de multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Encontramos agora as bases dos autespaços.
Para lambda=4:
Resolvendo (A-4I)v=0 vemos que no bloco x,y vem y=x, em z aparece 2-4neq0 logo z=0, e em w 4-4=0 deixa w livre. Uma base de E4 é
v1=(1,1,0,0), v2=(0,0,0,1)
Para lambda=2:
Resolvendo (A-2I)v=0 x+y=0, em z fica livre e em w força w=0. Uma base de E2 é
v3=(1,-1,0,0), v4=(0,0,1,0)

Passo 5

Os quatro vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes e formam uma base de R^4. Como o número de autovetores escolhidos (4) iguala a dimensão do espaço, T é diagonalizável.

Passo 6

Definimos a matriz de mudança de base P cujas colunas são v1,v2,v3,v4, neste exato ordenamento, e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes:
P = 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 , D = 4 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2
Então a relação de semelhança é
P^-1AP = D,
ou seja,
[T], E = A = P,D,P^-1

Resposta

T é diagonalizável. Tomando
P= 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 , D= 4 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2 ,
temos
P^-1[T] E,P = D

Exercícios relacionados