Seja .
Verifique se é diagonalizável, e caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre e matriz diagonal .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede para verificar se é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir explicitamente a semelhança entre a matriz de na base canônica e uma matriz diagonal . Vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e mudança de base.
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é
Passo 3
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico de A. Como é bloco diagonal,
logo os autovalores são lambda=4 e lambda=2, cada um de multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Encontramos agora as bases dos autespaços.
Para lambda=4:
Resolvendo (A-4I)v=0 vemos que no bloco x,y vem y=x, em z aparece 2-4neq0 logo z=0, e em w4-4=0 deixa w livre. Uma base de E4 é
v1=(1,1,0,0), v2=(0,0,0,1)
Para lambda=2:
Resolvendo (A-2I)v=0 dá x+y=0, em z fica livre e em w força w=0. Uma base de E2 é
v3=(1,-1,0,0), v4=(0,0,1,0)
Passo 5
Os quatro vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes e formam uma base de R^4. Como o número de autovetores escolhidos (4) iguala a dimensão do espaço, T é diagonalizável.
Passo 6
Definimos a matriz de mudança de base P cujas colunas são v1,v2,v3,v4, neste exato ordenamento, e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes: