Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
No espaço da matrizes
é um produto interno.
No espaço da matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação “No espaço das matrizes,
é um produto interno” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos checar passo a passo se essa definição cumpre essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades principais:
- Comutatividade:
- Distribuição em relação à soma:
- Compatibilidade com a multiplicação por escalar:
- Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
1. Comutatividade:
Precisamos verificar se
.
Em geral,
para matrizes quaisquer. Por exemplo, vamos escolher duas matrizes simples:
Seja
e
.
Então,
Nesse caso específico, deu igual, mas vamos tentar com outras matrizes:
Seja
e
.
Claramente,
. Então, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
Como a propriedade de comutatividade não é satisfeita, já podemos concluir que
não é um produto interno. Não precisamos verificar as outras propriedades, mas para reforçar, note que a positividade também não é atendida necessariamente, já que o produto
não garante que seja um escalar real não negativo.
Resposta
Falsa. Por exemplo, para as matrizes
e
, temos que
, violando a comutatividade necessária para um produto interno.