Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
No espaço da matrizes <A, B>=B A^T é um produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a afirmação “No espaço das matrizes, lang<= A, B rang<= = B A^T é um produto interno” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos checar passo a passo se essa definição cumpre essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial, um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades principais:
  1. Comutatividade: lang<= A, B rang<= = lang<= B, A rang<=
  2. Distribuição em relação à soma: lang<= A + C, B rang<= = lang<= A, B rang<= + lang<= C, B rang<=
  3. Compatibilidade com a multiplicação por escalar: lang<= kA, B rang<= = k lang<= A, B rang<=
  4. Positividade: lang<= A, A rang<= >= 0 e lang<= A, A rang<= = 0 se e somente se A = 0
Vamos verificar se lang<= A, B rang<= = B A^T satisfaz essas propriedades.

Passo 3

1. Comutatividade:
Precisamos verificar se lang<= A, B rang<= = lang<= B, A rang<= .
lang<= A, B rang<= = B A^T
lang<= B, A rang<= = A B^T
Em geral, B A^T neq A B^T para matrizes quaisquer. Por exemplo, vamos escolher duas matrizes simples:
Seja A = 1 & 00 & 0 e B = 0 & 10 & 0 .
Então,
B A^T = 0 & 10 & 0 1 & 00 & 0 = 0 & 00 & 0
A B^T = 1 & 00 & 0 0 & 01 & 0 = 0 & 00 & 0
Nesse caso específico, deu igual, mas vamos tentar com outras matrizes:
Seja A = 1 & 23 & 4 e B = 5 & 67 & 8 .
B A^T = 5 & 67 & 8 1 & 32 & 4 = 17 & 3923 & 53
A B^T = 1 & 23 & 4 5 & 76 & 8 = 17 & 2339 & 53
Claramente, B A^T neq A B^T . Então, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de comutatividade não é satisfeita, já podemos concluir que lang<= A, B rang<= = B A^T não é um produto interno. Não precisamos verificar as outras propriedades, mas para reforçar, note que a positividade também não é atendida necessariamente, já que o produto B A^T não garante que seja um escalar real não negativo.

Resposta

Falsa. Por exemplo, para as matrizes A = 1 & 23 & 4 e B = 5 & 67 & 8 , temos que lang<= A, B rang<= = B A^T neq A B^T , violando a comutatividade necessária para um produto interno.

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