Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
vale que
é um produto interno.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isto, lembramos os axiomas de produto interno:
. Bilinearidade (linear em cada argumento).
. Simetria:
.
. Definida– positiva:
para todo
.
Passo 2
Vamos checar a simetria. Seja
Então
enquanto
Em geral não temos
logo a forma não é simétrica.
Passo 3
Contra– exemplo concreto: tome
Então
mas
Logo a simetria falha, e não é produto interno.
Resposta
A afirmativa é falsa. Contra– exemplo:
,
dá
e
.