Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Em R^3 vale que <(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)>=x1^2 x2+y1 y2+z1 z2^2 é um produto interno.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rang<= = x1^2x2+y1y2+z1z2^2
é um produto interno em R^3. Para isto, lembramos os axiomas de produto interno:
1. Bilinearidade (linear em cada argumento).
2. Simetria: lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=.
3. Definida– positiva: lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0.

Passo 2

Vamos checar a simetria. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
lang<= u,vrang<= = x1^2x2+y1y2+z1z2^2,
enquanto
lang<= v,urang<= = x2^2x1+y2y1+z2z1^2
Em geral não temos
x1^2x2=x2^2x1 nem z1z2^2=z2z1^2,
logo a forma não é simétrica.

Passo 3

Contra– exemplo concreto: tome
u=(1,0,0), v=(2,0,0)
Então
lang<= u,vrang<= =1^2cdot2+0+0=2,
mas
lang<= v,urang<= =2^2cdot1+0+0=4neq2
Logo a simetria falha, e não é produto interno.

Resposta

A afirmativa é falsa. Contra– exemplo: u=(1,0,0), v=(2,0,0) lang<= u,vrang<==2 e lang<= v,urang<==4.

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