Faça o que se pede:
Use a definição de derivada para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de y=x^2-5 no ponto de abscissa 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico de y = x^2 - 5 no ponto onde a abscissa (valor de x ) é 2. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. A definição de derivada é:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Aqui, f(x) = x^2 - 5 e queremos encontrar f'(2) , que será a inclinação da reta tangente no ponto x = 2 .

Passo 3

Vamos calcular f(2) :
f(2) = (2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1
Então, o ponto de tangência é (2, -1) .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada f'(2) usando a definição:
f'(2) = limh to 0 f(2 + h) - f(2)h
Primeiro, calculamos f(2 + h) :
f(2 + h) = (2 + h)^2 - 5 = 4 + 4h + h^2 - 5 = h^2 + 4h -1

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:
f'(2) = limh to 0 (h^2 + 4h -1) - (-1)h = limh to 0 h^2 + 4hh
Simplificando a fração:
f'(2) = limh to 0 h(h + 4)h = limh to 0 (h + 4) = 4
Então, a inclinação da reta tangente em x = 2 é 4.

Passo 6

Agora que temos a inclinação da reta tangente (que é 4) e o ponto de tangência (2, -1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde m é a inclinação e (x1, y1) é o ponto.
Substituindo os valores:
y - (-1) = 4(x - 2) implies y + 1 = 4x - 8

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y = x^2 - 5 no ponto de abscissa 2 é:
y = 4x - 9

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