Faça o que se pede.
Sendo v=e^3 x+4 y cos 5 z. verifique que
partial^2 vpartial x^2+partial^2 vpartial y^2+partial^2 vpartial z^2=0

Passo 1

O enunciado dá a função
v(x,y,z)=e^3x+4ycos 5z
e pede para verificar que ela satisfaz a equação de Laplace
partial^2vpartial x^2+partial^2vpartial y^2+partial^2vpartial z^2=0

Passo 2

Calcular partial v/partial x e depois partial^2v/partial x^2. Como cos5z é constante em relação a x e partialx e^3x+4y=3e^3x+4y, temos
partial vpartial x =3e^3x+4ycos5z,
e derivando de novo em x,
partial^2vpartial x^2 =3cdot3,e^3x+4ycos5z =9e^3x+4ycos5z

Passo 3

Calcular partial^2v/partial y^2. Analogamente, partialy e^3x+4y=4e^3x+4y e cos5z é constante em y. Logo,
partial^2vpartial y^2 =4cdot4,e^3x+4ycos5z =16e^3x+4ycos5z

Passo 4

Calcular partial^2v/partial z^2. Aqui e^3x+4y é constante em z e partialzcos5z=-5sin5z. Então
partial vpartial z =-5e^3x+4ysin5z,
e derivando de novo em z,
partial^2vpartial z^2 =-5cdot5,e^3x+4ycos5z =-25e^3x+4ycos5z

Passo 5

Somando as três derivadas segundas:
partial^2vpartial x^2 +partial^2vpartial y^2 +partial^2vpartial z^2 =(9+16-25),e^3x+4ycos5z =0cdot e^3x+4ycos5z =0

Resposta

0

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