Use o teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função g.
g(x)=integral1^cos x t^2 sen t d t

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função g(x) = integral1^cos x t^2 sen t , dt usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos entender como derivar integrais onde o limite superior depende de x .

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por G(x) = integrala^h(x) f(t) , dt , então a derivada de G é dada por:
G'(x) = f(h(x)) cdot h'(x)
Isso significa que para encontrar a derivada, substituímos t por h(x) na função integranda e multiplicamos pela derivada de h(x) .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função g(x) , identificamos que:
f(t) = t^2 sen t
h(x) = cos x
Então, a derivada de g será:
g'(x) = f(h(x)) cdot h'(x) = (cos x)^2 sen(cos x) cdot ddx(cos x)

Passo 4

Sabemos que a derivada de cos x é -sen x . Substituindo isso na expressão, temos:
g'(x) = (cos x)^2 sen(cos x) cdot (-sen x)
Simplificando, obtemos:
g'(x) = -(cos x)^2 sen(cos x) cdot sen x

Resposta

A derivada de g(x) é:
g'(x) = -(cos x)^2 sen(cos x) cdot sen x

Exercícios relacionados