O valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] é definido como Mf=1b-a integrala^b f(x) d x. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
f(x)=x^2-1, [0, raiz3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função f(x) = x^2 - 1 no intervalo [0, raiz3]. Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função contínua, que envolve calcular uma integral e fazer umas divisões simples. Vamos precisar saber como integrar funções básicas e entender como aplicar a fórmula do valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do valor médio Mf de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b]:
Mf = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Aqui, a = 0 e b = raiz3 , e nossa função é f(x) = x^2 - 1 .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral de f(x) de a até b . Isso significa que precisamos integrar x^2 - 1 em relação a x :
integral0^raiz3 (x^2 - 1) , dx
Para integrar, vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Integrando x^2 e -1 separadamente:
integral x^2 , dx = x^33 e integral (-1) , dx = -x
Então, a integral completa fica:
integral0^raiz3 (x^2 - 1) , dx = [ x^33 - x ]0^raiz3

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores nas extremidades do intervalo:
Para x = raiz3 :
(raiz3)^33 - raiz3 = 3raiz33 - raiz3 = raiz3 - raiz3 = 0
Para x = 0 :
0^33 - 0 = 0 - 0 = 0
Então, a integral fica:
0 - 0 = 0

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Mf = 1raiz3 - 0 times 0 = 0raiz3 = 0

Resposta

O valor médio da função f(x) = x^2 - 1 no intervalo [0, raiz3] é Mf = 0 .

Exercícios relacionados