O valor médio
de uma função contínua
no intervalo
é definido como
. Calcule o valor médio das funções no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função contínua, que envolve calcular uma integral e fazer umas divisões simples. Vamos precisar saber como integrar funções básicas e entender como aplicar a fórmula do valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do valor médio
de uma função contínua
no intervalo
:
Aqui,
e
, e nossa função é
.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral de
de
até
. Isso significa que precisamos integrar
em relação a
:
Para integrar, vamos integrar termo a termo.
Passo 4
Integrando
e
separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores nas extremidades do intervalo:
Para :
Para
Para
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é
.