Use o teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função g.
g(x)=integralraizx^0 tan (t^2) d t

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função g(x) = integralraizx^0 tan(t^2) , dt . Basicamente, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se você tem uma função definida como uma integral com limites que dependem de x , a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integrando nos limites e multiplicando pela derivada desses limites.

Passo 3

Nossa função é g(x) = integralraizx^0 tan(t^2) , dt . Aqui, o limite superior é 0 (que é constante) e o limite inferior é raizx (que depende de x ).

Passo 4

Para aplicar o teorema, começamos identificando a(x) = raizx e b(x) = 0 . A derivada de g(x) será:
g'(x) = tan(b(x)^2) cdot b'(x) - tan(a(x)^2) cdot a'(x)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • b(x) = 0 então b'(x) = 0
  • a(x) = raizx então a'(x) = 12raizx
  • tan(b(x)^2) = tan(0^2) = tan(0) = 0
  • tan(a(x)^2) = tan((raizx)^2) = tan(x)

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
g'(x) = 0 cdot 0 - tan(x) cdot 12raizx = -tan(x)2raizx

Resposta

A derivada da função g(x) é:
g'(x) = -tan(x)2raizx

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