Use escalonamento de matrizes para determinar para quais valores de a o sistematinear
x-2 y+z+a w & =-1 2 x-2 y+z+(3+2 a) w & =2 -x+2 y+2 z-3 w & =2 a-3 3 z+(a^2-3 a) w & =3 a-5
Possui uma única solução.

Passo 1

Resumindo, temos o sistema em (x,y,z,w) com parâmetro a:
x-2y+z+a w &= -1, 2x-2y+z+(3+2a)w &= 2, -x+2y+2z-3w &= 2a-3, 3z+(a^2-3a)w &= 3a-5
O conteúdo é escalonamento de matrizes (eliminação de Gauss) para triangularizar a matriz de coeficientes e decidir quando ela é invertível, pois invertibilidade Leftrightarrow única solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos o pivô da primeira linha para zerar abaixo em x:
[cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 2 & -2 & 1 & 3+2a & 2 -1 & 2 & 2 & -3 & 2a-3 0 & 0 & 3 & a^2-3a & 3a-5 ] ;xrightarrowR2to R2-2R1,;R3to R3+R1; [cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 3 & a^2-3a & 3a-5 ]

Passo 3

Agora o pivô da segunda linha é 2 em coluna y. Já não há termos em y nas linhas 3 e 4, então seguimos ao pivô da terceira linha.

Passo 4

O pivô da terceira linha é 3 em coluna z. Eliminamos o mesmo colunar na quarta linha:
[cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 0 & (a^2-3a)-(a-3) & (3a-5)-(2a-4) ] = [cccc|c 1 & -2 & 1 & a & -1 0 & 2 & -1 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & a-3 & 2a-4 0 & 0 & 0 & a^2-4a+3 & a-1 ]

Passo 5

Na forma triangular, os pivôs são 1, 2, 3 e a^2-4a+3. Para haver única solução, nenhum pivô pode ser zero, logo
a^2-4a+3neq0 Long<=ftrightarrow (a-1)(a-3)neq0 Long<=ftrightarrow aneq1,;aneq3

Resposta

O sistema possui solução única se, e somente se,
aneq1 e aneq3

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