A função exponencial complexa e^{z}, onde z=x+i y, pode ser expressa como:
Escolha uma opção:
\cos x+i \operatorname{sen} y
e^{x} \cos y+i \operatorname{sen} y
e^{x}(\cos y+i \operatorname{sen} y)
e^{x}(\cos y-i \operatorname{sen} y)

Passo 1

O enunciado nos pede para expressar a função exponencial complexa \exp(z), onde z = x + i y, em termos das partes real x e imaginária y. Vamos usar a propriedade de soma de expoentes e a fórmula de Euler.

Passo 2

Usando a propriedade e^{a+b}=e^{a}e^{b}, escrevemos
e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} \cdot e^{i y}.

Passo 3

Pela fórmula de Euler, sabemos que
e^{i y} = \cos y + i \sin y.

Passo 4

Substituindo em e^{z}, obtemos
e^{z} = e^{x}\bigl(\cos y + i \sin y\bigr).

Resposta

e^{x}(\cos y + i \sin y)

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