Usando o teorema da convolução, obtenha:
(a) \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr]
usando o teorema da convolução. Vamos usar que, se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} \quad\text{e}\quad G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}=(f*g)(t) \quad\text{com}\quad (f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Observe que
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{s}{s^{2}+1}\;\cdot\;\frac{1}{s^{2}+1}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1}, \quad \mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^{2}+1}.
Logo, podemos identificar
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}, \quad G(s)=\frac{1}{s^{2}+1},
com
f(t)=\cos t, \quad g(t)=\sin t.

Passo 3

Pelo teorema da convolução, a inversa é
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Use a identidade trigonométrica
\sin\bigl(t-\tau\bigr)\cos\tau =\tfrac12\bigl[\sin t+\sin(t-2\tau)\bigr].
Então
\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau =\tfrac12\int_{0}^{t}\bigl[\sin t+\sin(t-2\tau)\bigr]d\tau.

Passo 5

Separe em duas integrais:
\tfrac12\int_{0}^{t}\sin t\,d\tau =\tfrac12\;t\,\sin t,
\tfrac12\int_{0}^{t}\sin(t-2\tau)\,d\tau =0 \quad(\text{função ímpar no intervalo simétrico em }u=t-2\tau).çãíé
Logo
(f*g)(t)=\frac{t}{2}\,\sin t.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr] =\frac{t}{2}\,\sin t.

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