Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: executar o método da bisseção por quatro iterações para aproximar uma raiz da equação
e calcular o erro a cada iteração. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é
. - Deve-se usar o método da bisseção e fazer exatamente quatro iterações.
- Precisa-se calcular o erro em cada iteração (ou seja, fornecer um estimador do erro associado à aproximação obtida em cada iteração).
Passo 2
Preparação: reescrevemos a equação na forma conveniente para aplicar bisseção, definindo a função
cuja raiz procuramos (pois
equivale à equação original). Lembretes didáticos sobre o método da bisseção (explicação passo a passo e fórmulas):
- O método da bisseção exige um intervalo
em que seja contínua e (ou seja, sinais opostos em e ), garantindo existência de uma raiz por Bolzano. - Em cada iteração
calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se então é a raiz exata. Se tem sinal oposto a , então a nova intervalo é ; caso contrário a nova intervalo é . - Estimativa de erro: após
iterações, a aproximação satisfaz o limite de erro
onde
é o comprimento do intervalo inicial. Isto fornece um limite superior garantido para o erro verdadeiro. Também é útil acompanhar o comprimento do intervalo atual
e a mudança entre sucessivas aproximações
, mas o estimador teórico padrão é
.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial
. Procuramos pontos com sinais opostos:
Temos
e
, logo
. Portanto podemos tomar o intervalo inicial
O comprimento do intervalo inicial é
. Assim o limite de erro após
iterações será
.
Passo 4
Iteração 1:
- Calcula-se o ponto médio
- Avalia-se
:
Assim
e
: sinais opostos entre
e
. Portanto a raiz está no subintervalo
- Estimativa teórica de erro após a primeira iteração:
(Observação: o comprimento do novo intervalo é
.)
Passo 5
Iteração 2:
- Calcula-se o ponto médio do novo intervalo:
- Avalia-se
:
Logo
e
, então o sinal muda entre
e
. A nova aproximação reduz o intervalo para
- Estimativa teórica de erro após a segunda iteração:
(Comprimento do novo intervalo:
.)
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avalia-se
. Para evitar muitos decimais, usamos frações: , então
Convertendo para denominador
:
Portanto
. Como
e
, a raiz está em
- Estimativa teórica de erro após a terceira iteração:
(Comprimento do novo intervalo:
.)
Passo 7
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avalia-se
. Usando frações: , então
Em denominador
:
Assim
. Como
e
, o novo intervalo é
- Estimativa teórica de erro após a quarta iteração:
(Comprimento do novo intervalo:
.)
Passo 8
Resumo dos valores obtidos nas quatro iterações (para referência didática):
- Iteração 1:
, , intervalo . - Iteração 2:
, , intervalo . - Iteração 3:
, , intervalo . - Iteração 4:
, , intervalo .
Resposta
Iteração 1:
erro
Iteração 2:
erro
Iteração 3:
erro
Iteração 4:
erro