Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
x^{3}=4 x-1

Passo 1

O enunciado pede: executar o método da bisseção por quatro iterações para aproximar uma raiz da equação
x^{3}=4x-1
e calcular o erro a cada iteração. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é \;x^{3}=4x-1\;.
  • Deve-se usar o método da bisseção e fazer exatamente quatro iterações.
  • Precisa-se calcular o erro em cada iteração (ou seja, fornecer um estimador do erro associado à aproximação obtida em cada iteração).

Passo 2

Preparação: reescrevemos a equação na forma conveniente para aplicar bisseção, definindo a função
f(x)=x^{3}-4x+1,
cuja raiz procuramos (pois f(x)=0 equivale à equação original). Lembretes didáticos sobre o método da bisseção (explicação passo a passo e fórmulas):
  • O método da bisseção exige um intervalo [a,b] em que f seja contínua e f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, sinais opostos em a e b), garantindo existência de uma raiz por Bolzano.
  • Em cada iteração k calcula-se o ponto médio
c_k=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}.
  • Avalia-se f(c_k). Se f(c_k)=0 então c_k é a raiz exata. Se f(c_k) tem sinal oposto a f(a_{k-1}), então a nova intervalo é [a_{k-1},c_k]; caso contrário a nova intervalo é [c_k,b_{k-1}].
  • Estimativa de erro: após k iterações, a aproximação c_k satisfaz o limite de erro
\left|\text{raiz} - c_k\right|\le \frac{b-a}{2^{k}},
onde b-a é o comprimento do intervalo inicial. Isto fornece um limite superior garantido para o erro verdadeiro. Também é útil acompanhar o comprimento do intervalo atual (b_k-a_k) e a mudança entre sucessivas aproximações |c_k-c_{k-1}|, mas o estimador teórico padrão é \dfrac{b-a}{2^k}.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial [a,b]. Procuramos pontos com sinais opostos:
f(0)=0^{3}-4\cdot 0+1=1,
f(1)=1^{3}-4\cdot 1+1=1-4+1=-2.
Temos f(0)=1>0 e f(1)=-2<0, logo f(0)\cdot f(1)<0. Portanto podemos tomar o intervalo inicial
[a,b]=[0,1].
O comprimento do intervalo inicial é b-a=1. Assim o limite de erro após k iterações será \dfrac{1}{2^{k}}.

Passo 4

Iteração 1:
  • Calcula-se o ponto médio
c_{1}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}=0,5.
  • Avalia-se f(c_{1}):
f(0,5)=(0,5)^{3}-4(0,5)+1=0,125-2+1=-0,875.
Assim f(0)=1>0 e f(0,5)=-0,875<0: sinais opostos entre x=0 e x=0,5. Portanto a raiz está no subintervalo
[a_{1},b_{1}]=[0,0,5].
  • Estimativa teórica de erro após a primeira iteração:
\left|\text{raiz}-c_{1}\right|\le \frac{b-a}{2^{1}}=\frac{1}{2}=0,5.
(Observação: o comprimento do novo intervalo é b_{1}-a_{1}=0,5.)

Passo 5

Iteração 2:
  • Calcula-se o ponto médio do novo intervalo:
c_{2}=\frac{0+0,5}{2}=0,25.
  • Avalia-se f(c_{2}):
f(0,25)=(0,25)^{3}-4(0,25)+1=0,015625-1+1=0,015625.
Logo f(0,25)>0 e f(0,5)<0, então o sinal muda entre x=0,25 e x=0,5. A nova aproximação reduz o intervalo para
[a_{2},b_{2}]=[0,25,0,5].
  • Estimativa teórica de erro após a segunda iteração:
\left|\text{raiz}-c_{2}\right|\le \frac{b-a}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0,25.
(Comprimento do novo intervalo: b_{2}-a_{2}=0,25.)

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio:
c_{3}=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375.
  • Avalia-se f(c_{3}). Para evitar muitos decimais, usamos frações: 0,375=\tfrac{3}{8}, então
f\!\left(\tfrac{3}{8}\right)=\left(\tfrac{3}{8}\right)^{3}-4\left(\tfrac{3}{8}\right)+1=\frac{27}{512}-\frac{12}{8}+1.
Convertendo para denominador 512:
\frac{27}{512}-\frac{768}{512}+\frac{512}{512}=\frac{27-768+512}{512}=\frac{-229}{512}\approx -0,447265625.
Portanto f(0,375)<0. Como f(0,25)>0 e f(0,375)<0, a raiz está em
[a_{3},b_{3}]=[0,25,0,375].
  • Estimativa teórica de erro após a terceira iteração:
\left|\text{raiz}-c_{3}\right|\le \frac{b-a}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0,125.
(Comprimento do novo intervalo: b_{3}-a_{3}=0,125.)

Passo 7

Iteração 4:
  • Ponto médio:
c_{4}=\frac{0,25+0,375}{2}=0,3125.
  • Avalia-se f(c_{4}). Usando frações: 0,3125=\tfrac{5}{16}, então
f\!\left(\tfrac{5}{16}\right)=\left(\tfrac{5}{16}\right)^{3}-4\left(\tfrac{5}{16}\right)+1=\frac{125}{4096}-\frac{20}{16}+1.
Em denominador 4096:
\frac{125}{4096}-\frac{5120}{4096}+\frac{4096}{4096}=\frac{125-5120+4096}{4096}=\frac{-899}{4096}\approx -0,219482421875.
Assim f(0,3125)<0. Como f(0,25)>0 e f(0,3125)<0, o novo intervalo é
[a_{4},b_{4}]=[0,25,0,3125].
  • Estimativa teórica de erro após a quarta iteração:
\left|\text{raiz}-c_{4}\right|\le \frac{b-a}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0,0625.
(Comprimento do novo intervalo: b_{4}-a_{4}=0,0625.)

Passo 8

Resumo dos valores obtidos nas quatro iterações (para referência didática):
  • Iteração 1: c_{1}=0,5, f(c_{1})=-0,875, intervalo [0,0,5].
  • Iteração 2: c_{2}=0,25, f(c_{2})=0,015625, intervalo [0,25,0,5].
  • Iteração 3: c_{3}=0,375, f(c_{3})\approx -0,447265625, intervalo [0,25,0,375].
  • Iteração 4: c_{4}=0,3125, f(c_{4})\approx -0,219482421875, intervalo [0,25,0,3125].

Resposta

Iteração 1: c_{1}=0,5,\quad erro \le 0,5
Iteração 2: c_{2}=0,25,\quad erro \le 0,25
Iteração 3: c_{3}=0,375,\quad erro \le 0,125
Iteração 4: c_{4}=0,3125,\quad erro \le 0,0625

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