Utilize a definição de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados:
f(x, y)=x^3-2 y^2, partial fpartial x e partial fpartial y em (1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais. A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = x^3 - 2y^2 em relação a x e a y no ponto (1, -1) . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que é uma ferramenta da matemática que permite ver como a função muda quando a gente varia uma das variáveis enquanto a outra fica fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x , denotada por partial fpartial x , mede a taxa de variação de f quando a gente muda x e mantém y constante. A definição matemática é:
partial fpartial x = limh to 0 f(x+h, y) - f(x, y)h

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função f(x, y) = x^3 - 2y^2 . Substituindo na fórmula:
partial fpartial x = limh to 0 (x + h)^3 - 2y^2 - (x^3 - 2y^2)h
Simplificando os termos:
partial fpartial x = limh to 0 (x + h)^3 - x^3h

Passo 4

Expandindo (x + h)^3 :
(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial fpartial x = limh to 0 x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3h = limh to 0 3x^2h + 3xh^2 + h^3h
Simplificando dividindo cada termo por h :
partial fpartial x = limh to 0 (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para a derivada parcial em relação a y , partial fpartial y . A definição é:
partial fpartial y = limk to 0 f(x, y+k) - f(x, y)k
Substituindo f(x, y) = x^3 - 2y^2 :
partial fpartial y = limk to 0 x^3 - 2(y + k)^2 - (x^3 - 2y^2)k
Simplificando:
partial fpartial y = limk to 0 -2(y^2 + 2yk + k^2) + 2y^2k = limk to 0 -4yk - 2k^2k
Dividindo por k :
partial fpartial y = limk to 0 (-4y - 2k) = -4y

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x^3 - 2y^2 no ponto (1, -1) são:
partial fpartial x|(1,-1) = 3(1)^2 = 3
partial fpartial y|(1,-1) = -4(-1) = 4

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