Faça a substituição
e
para transformar a EDO em linear de
ordem, resolva para
, e depois integre para achar
.
3.
3.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para fazer a substituição
(logo
), transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem para
, resolvê‑la para encontrar
e depois integrar
para obter
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Substituição exigida:
e . - Objetivo 1: obter e resolver a EDO de 1ª ordem para
. - Objetivo 2: integrar
para achar .
Nenhuma condição inicial foi dada, então a solução será a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Aplicando a substituição
e
na equação original obtemos a EDO para
:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e, no caso, homogênea. A forma padrão de uma linear de 1ª ordem é
aqui
e
. Para resolver podemos usar o método da separação (porque é também separável) ou o método do fator integrante. Vou usar separação por ser direto: escrever como
.
Passo 3
Resolver
por separação de variáveis:
Separe as variáveis e
:
Separe as variáveis
Agora integre ambos os lados:
As integrais dão:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Absorvendo o
num sinal arbitrário, escrevemos a constante geral como
(pode ser positiva ou negativa), obtendo
Isso é a solução geral para
. Aqui
é uma constante arbitrária real.
Passo 4
Agora voltamos a
sabendo que
. Temos
Integramos em relação a
:
Calcule a integral básica
. Uma primitiva é
, porque derivando
obtém‑se
. Assim
onde
é outra constante de integração. Simplificando:
Podemos renomear constantes se quiser (por exemplo
e
), mas a forma acima já é a solução geral com duas constantes arbitrárias
.
Passo 5
Verificação rápida (importante para prova): derivando a solução e substituindo na EDO original para conferir consistência.
Derivando :
Derivando
Substituindo em
:
logo satisfaz a equação original. Tudo certo.