Faça a substituição v=y^{\prime} e v^{\prime}=y^{\prime \prime} para transformar a EDO em linear de 1^{\underline{a}} ordem, resolva para v, e depois integre para achar y.
3. y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''+2y'=0
e pede para fazer a substituição v=y' (logo v'=y''), transformar a EDO em uma EDO linear de primeira ordem para v, resolvê‑la para encontrar v(x) e depois integrar v=y' para obter y(x).
Informações relevantes:
  • Substituição exigida: v=y' e v'=y''.
  • Objetivo 1: obter e resolver a EDO de 1ª ordem para v.
  • Objetivo 2: integrar v para achar y.
    Nenhuma condição inicial foi dada, então a solução será a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Aplicando a substituição v=y' e v'=y'' na equação original obtemos a EDO para v:
v'+2v=0.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e, no caso, homogênea. A forma padrão de uma linear de 1ª ordem é
v'+p(x)\,v=q(x),
aqui p(x)=2 e q(x)=0. Para resolver podemos usar o método da separação (porque é também separável) ou o método do fator integrante. Vou usar separação por ser direto: escrever como \dfrac{dv}{dx}=-2v.

Passo 3

Resolver \dfrac{dv}{dx}=-2v por separação de variáveis:
Separe as variáveis v e x:
\frac{1}{v}\,dv = -2\,dx.
Agora integre ambos os lados:
\int \frac{1}{v}\,dv = \int -2\,dx.
As integrais dão:
\ln|v| = -2x + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|v| = e^{-2x+C} = e^{C}e^{-2x}.
Absorvendo o e^{C} num sinal arbitrário, escrevemos a constante geral como C_1 (pode ser positiva ou negativa), obtendo
v = C_1 e^{-2x}.
Isso é a solução geral para v(x). Aqui C_1 é uma constante arbitrária real.

Passo 4

Agora voltamos a y sabendo que v=y'. Temos
y' = C_1 e^{-2x}.
Integramos em relação a x:
y(x) = \int C_1 e^{-2x}\,dx = C_1\int e^{-2x}\,dx.
Calcule a integral básica \int e^{-2x}\,dx. Uma primitiva é -\tfrac{1}{2}e^{-2x}, porque derivando -\tfrac{1}{2}e^{-2x} obtém‑se e^{-2x}. Assim
y(x) = C_1\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Simplificando:
y(x) = C_2 - \frac{C_1}{2} e^{-2x}.
Podemos renomear constantes se quiser (por exemplo A=C_2 e B=-\tfrac{C_1}{2}), mas a forma acima já é a solução geral com duas constantes arbitrárias C_1,C_2.

Passo 5

Verificação rápida (importante para prova): derivando a solução e substituindo na EDO original para conferir consistência.
Derivando y:
y' = C_1 e^{-2x}, \qquad y'' = -2C_1 e^{-2x}.
Substituindo em y''+2y':
y''+2y' = (-2C_1 e^{-2x}) + 2(C_1 e^{-2x}) = 0,
logo satisfaz a equação original. Tudo certo.

Resposta

v(x)=C_{1}e^{-2x}
y(x)=C_{2}-\dfrac{C_{1}}{2}e^{-2x}

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