Sejam
e
. Seja
dada por
.
i. Responda para
as perguntas da questão anterior.
ii.
é isomorfo a um grupo quociente do grupo
?
i. Responda para
ii.
Passo 1
O exercício trata de dois grupos:
• sob adição;
• sob multiplicação;
e define a aplicação por
. Na parte (i) precisamos verificar se
é homomorfismo, determinar núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade. Na parte (ii) fica o questionamento sobre isomorfismo entre
e um quociente de
.
•
•
e define a aplicação
Passo 2
Para ver se
é homomorfismo de
em
, calculamos:
Isso mostra que
, ou seja,
preserva a operação e é um homomorfismo.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto de
tais que
:
Logo
. A imagem de
é
pois, dado qualquer
, basta escolher
ou
para
.
Passo 4
Como
,
não é injetora. Como
,
é sobrejetora. Portanto,
é um homomorfismo sobrejetor e não injetor.
Passo 5
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo de grupos, temos
Mas
e
. Logo
Isso responde a parte (ii): sim,
é isomorfo ao quociente de
por
.
Resposta
i.
é homomorfismo de
em
, não injetor, sobrejetor; \ kern(g)={1,-1}, im(g)=\mathbb{R}. ii. Sim. Pelo 1.º Teorema de Isomorfismo, \