Sejam R=(R,+) e g: R^* R. Seja g(x)=log |x| dada por g.
i. Responda para R as perguntas da questão anterior.
ii. R^* é isomorfo a um grupo quociente do grupo ?

Passo 1

O exercício trata de dois grupos:
R=(R,+) sob adição;
R^*=(R^*,cdot) sob multiplicação;
e define a aplicação g: R^*toR por g(x)=log|x|. Na parte (i) precisamos verificar se g é homomorfismo, determinar núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade. Na parte (ii) fica o questionamento sobre isomorfismo entre R e um quociente de R^*.

Passo 2

Para ver se g é homomorfismo de (R^*,cdot) em (R,+), calculamos:
g(xy)=log|xy|=log|x|+log|y|=g(x)+g(y)
Isso mostra que g(xy)=g(x)+g(y), ou seja, g preserva a operação e é um homomorfismo.

Passo 3

O núcleo de g é o conjunto de xinR^* tais que g(x)=0:
log|x|=0implies|x|=1implies x=pm1
Logo ker(g)=1,-1. A imagem de g é
log|x|:xinR^*=R,
pois, dado qualquer yinR, basta escolher x=e^y>0 ou x=-e^y<0 para log|x|=y.

Passo 4

Como ker(g)neq1, g não é injetora. Como im(g)=R, g é sobrejetora. Portanto, g é um homomorfismo sobrejetor e não injetor.

Passo 5

Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo de grupos, temos
R^*/ker(g)congim(g)
Mas ker(g)=pm1 e im(g)=R. Logo
R^*/pm1congR
Isso responde a parte (ii): sim, R é isomorfo ao quociente de R^* por pm1.

Resposta

i. g é homomorfismo de (R^*,cdot) em (R,+), não injetor, sobrejetor; \ kern(g)={1,-1}, im(g)=\mathbb{R}. ii. Sim. Pelo 1.º Teorema de Isomorfismo, \ R^*/pm1congR

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