Sejam R=(R,+) e f: R R+^*. Seja f(x)=a^x dada por a in R, a>1 onde f.
a. Mostre que N u c(f) é um homomorfismo.
b. Determine f.
c. f é injetora?
d. é isomorfismo?

Passo 1

Neste exercício, temos o grupo aditivo R=(R,+) e o grupo multiplicativo dos reais positivos R+^*=(R+^*,cdot). A função dada é f: RtoR+^*, f(x)=a^x com a>1. Vamos usar conceitos de homomorfismo de grupos (preservar a operação), núcleo, injetividade e isomorfismo.

Passo 2

Para mostrar que f é homomorfismo, calculamos f(x+y) e verificamos se coincide com f(x)cdot f(y):
f(x+y)=a^x+y=a^xcdot a^y=f(x)cdot f(y)
Assim, f(x+y)=f(x)f(y), logo f preserva a operação e é homomorfismo.

Passo 3

O núcleo de f é ker f=xinR:f(x)=1. Como a identidade em R+^* é 1, resolvemos
a^x=1implies x=0
porque a>1. Logo ker f=0.

Passo 4

Uma propriedade padrão é que um homomorfismo de grupos é injetivo se, e somente se, seu núcleo é trivial (isto é, 0). Como ker f=0, concluímos que f é injetora. Alternativamente, de a^x=a^y segue x=y.

Passo 5

Para ser isomorfismo, f precisa ser bijetora. Já vimos que f é injetora. Falta verificar que é sobrejetora: dado qualquer y>0, existe x=loga y tal que a^x=y. Como loga yinR, todo yinR+^* tem um antecessor em R. Portanto f é sobrejetora e, assim, bijetora, isto é, um isomorfismo de grupos.

Resposta

a) f é homomorfismo porque f(x+y)=a^x+y=a^x a^y=f(x)f(y).
b) ker f=0
c) Sim, f é injetora (núcleo trivial).
d) Sim, f é isomorfismo, pois é bijetora (injetora e sobrejetora).

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