Sejam
e
. Seja
dada por
onde
.
a. Mostre que
é um homomorfismo.
b. Determine
.
c.
é injetora?
d.
é isomorfismo?
a. Mostre que
b. Determine
c.
d.
Passo 1
Neste exercício, temos o grupo aditivo
e o grupo multiplicativo dos reais positivos
. A função dada é
,
com
. Vamos usar conceitos de homomorfismo de grupos (preservar a operação), núcleo, injetividade e isomorfismo.
Passo 2
Para mostrar que
é homomorfismo, calculamos
e verificamos se coincide com
:
Assim,
, logo
preserva a operação e é homomorfismo.
Passo 3
O núcleo de
é
. Como a identidade em
é
, resolvemos
porque
. Logo
.
Passo 4
Uma propriedade padrão é que um homomorfismo de grupos é injetivo se, e somente se, seu núcleo é trivial (isto é,
). Como
, concluímos que
é injetora. Alternativamente, de
segue
.
Passo 5
Para ser isomorfismo,
precisa ser bijetora. Já vimos que
é injetora. Falta verificar que é sobrejetora: dado qualquer
, existe
tal que
. Como
, todo
tem um antecessor em
. Portanto
é sobrejetora e, assim, bijetora, isto é, um isomorfismo de grupos.
Resposta
a)
é homomorfismo porque
.
b)
c) Sim, é injetora (núcleo trivial).
d) Sim, é isomorfismo, pois é bijetora (injetora e sobrejetora).
b)
c) Sim,
d) Sim,