Faça as tabelas de soma e produto para os conjuntos
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: construir as tabelas de soma e produto (ou seja, operação
e operação
) para os conjuntos
,
,
e
.
Informações dadas (e que vamos usar):
é o conjunto dos restos (resíduos) da divisão por
, que tomamos como
. Para cada par de elementos
definimos:
A tarefa é montar, para cada
, a matriz com linhas e colunas rotuladas por
onde cada célula mostra o resultado da operação módulo
.
Passo 2
Breve explicação didática sobre cálculo módulo
.
O que significa
? Significa: calcular
normalmente como inteiro e, se o resultado for maior ou igual a
, subtrair
repetidamente até obter um número em
. O mesmo para o produto: calcular
e reduzir módulo
.
Exemplo rápido: em
, para
fazemos
e
, então
. Em notação que vamos usar:
Passo 3
Como estruturar as tabelas (passo-a-passo prático):
- Colocar na primeira linha (cabeçalho) os elementos
como colunas; na primeira coluna (à esquerda) os mesmos elementos como linhas. - Em cada célula da interseção linha
e coluna escrevemos , onde é ou . - Observações úteis na prova: a tabela de soma é sempre uma Latin square (cada valor aparece exatamente uma vez por linha/coluna) e a identidade aditiva é
. Na tabela de produto, se é primo (como e ), todo elemento diferente de tem inverso multiplicativo; se é composto (como e ) surgem divisores de zero (elementos não nulos cujo produto é módulo ).
Passo 4
Construção e explicação da tabela de soma para
.
Elementos:
.
A soma é feita módulo . Exemplos para confirmar:
,
.
A soma é feita módulo
Segue a tabela (cada entrada é
).
Passo 5
Tabela de produto para
com explicação.
Produto módulo
. Como
é primo, todos os elementos
têm inverso multiplicativo. Exemplos:
então
e
são inversos entre si.
Segue a tabela (cada entrada é
).
Passo 6
Construção e explicação da tabela de soma para
.
Elementos:
.
Soma módulo . Exemplos:
,
.
Soma módulo
Segue a tabela.
Passo 7
Tabela de produto para
com explicação.
Produto módulo
. Como
é composto (
), há divisores de zero: por exemplo
. Nem todo elemento não nulo tem inverso (por exemplo
não tem inverso em
).
Segue a tabela.
Passo 8
Construção e explicação da tabela de soma para
.
Elementos:
.
Soma módulo . Exemplos:
,
.
Soma módulo
Segue a tabela.
Passo 9
Tabela de produto para
com explicação.
Produto módulo
. Como
é primo, todos os elementos
têm inversos multiplicativos. Exemplo:
então
e
são inversos.
Segue a tabela.
Passo 10
Construção e explicação da tabela de soma para
.
Elementos:
.
Soma módulo . Exemplos:
,
.
Soma módulo
Segue a tabela.
Passo 11
Tabela de produto para
com explicação.
Produto módulo
. Como
é potência de
(
), há vários divisores de zero (por exemplo
). Apenas os ímpares
são coprimos com
e têm inversos multiplicativos.
Segue a tabela.
Resposta
Tabelas para
:
Tabelas para
:
Tabelas para
:
Tabelas para
: