Faça as tabelas de soma e produto para os conjuntos \mathbb{Z}_{5}, \mathbb{Z}_{6}, \mathbb{Z}_{7} e \mathbb{Z}_{8}.

Passo 1

O que o enunciado pede: construir as tabelas de soma e produto (ou seja, operação + e operação \times) para os conjuntos \mathbb{Z}_{5}, \mathbb{Z}_{6}, \mathbb{Z}_{7} e \mathbb{Z}_{8}.
Informações dadas (e que vamos usar):
\mathbb{Z}_{n} é o conjunto dos restos (resíduos) da divisão por n, que tomamos como \{0,1,\dots,n-1\}. Para cada par de elementos a,b\in\mathbb{Z}_{n} definimos:
\text{soma: } a+b \equiv (a+b)\bmod n,
\text{produto: } a\cdot b \equiv (a\cdot b)\bmod n.
A tarefa é montar, para cada n\in\{5,6,7,8\}, a matriz com linhas e colunas rotuladas por 0,1,\dots,n-1 onde cada célula mostra o resultado da operação módulo n.

Passo 2

Breve explicação didática sobre cálculo módulo n.
O que significa (a+b)\bmod n? Significa: calcular a+b normalmente como inteiro e, se o resultado for maior ou igual a n, subtrair n repetidamente até obter um número em \{0,\dots,n-1\}. O mesmo para o produto: calcular a\cdot b e reduzir módulo n.
Exemplo rápido: em \mathbb{Z}_{5}, para 3+4 fazemos 3+4=7 e 7-5=2, então 3+4\equiv2\pmod{5}. Em notação que vamos usar:
3+4 \equiv (3+4)\bmod 5 = 2.

Passo 3

Como estruturar as tabelas (passo-a-passo prático):
  • Colocar na primeira linha (cabeçalho) os elementos 0,1,\dots,n-1 como colunas; na primeira coluna (à esquerda) os mesmos elementos como linhas.
  • Em cada célula da interseção linha a e coluna b escrevemos (a\star b)\bmod n, onde \star é + ou \times.
  • Observações úteis na prova: a tabela de soma é sempre uma Latin square (cada valor aparece exatamente uma vez por linha/coluna) e a identidade aditiva é 0. Na tabela de produto, se n é primo (como 5 e 7), todo elemento diferente de 0 tem inverso multiplicativo; se n é composto (como 6 e 8) surgem divisores de zero (elementos não nulos cujo produto é 0 módulo n).

Passo 4

Construção e explicação da tabela de soma para \mathbb{Z}_{5}.
Elementos: \{0,1,2,3,4\}.
A soma é feita módulo 5. Exemplos para confirmar: 4+2=6\equiv1\pmod{5}, 3+3=6\equiv1\pmod{5}.
Segue a tabela (cada entrada é (\text{linha}+\text{coluna})\bmod 5).

Passo 5

Tabela de produto para \mathbb{Z}_{5} com explicação.
Produto módulo 5. Como 5 é primo, todos os elementos 1,2,3,4 têm inverso multiplicativo. Exemplos: 2\cdot3=6\equiv1\pmod{5} então 2 e 3 são inversos entre si.
Segue a tabela (cada entrada é (\text{linha}\times\text{coluna})\bmod 5).

Passo 6

Construção e explicação da tabela de soma para \mathbb{Z}_{6}.
Elementos: \{0,1,2,3,4,5\}.
Soma módulo 6. Exemplos: 4+5=9\equiv3\pmod{6}, 3+3=6\equiv0\pmod{6}.
Segue a tabela.

Passo 7

Tabela de produto para \mathbb{Z}_{6} com explicação.
Produto módulo 6. Como 6 é composto ( 6=2\cdot3), há divisores de zero: por exemplo 2\cdot3=6\equiv0\pmod{6}. Nem todo elemento não nulo tem inverso (por exemplo 2 não tem inverso em \mathbb{Z}_6).
Segue a tabela.

Passo 8

Construção e explicação da tabela de soma para \mathbb{Z}_{7}.
Elementos: \{0,1,2,3,4,5,6\}.
Soma módulo 7. Exemplos: 5+4=9\equiv2\pmod{7}, 6+6=12\equiv5\pmod{7}.
Segue a tabela.

Passo 9

Tabela de produto para \mathbb{Z}_{7} com explicação.
Produto módulo 7. Como 7 é primo, todos os elementos 1,\dots,6 têm inversos multiplicativos. Exemplo: 3\cdot5=15\equiv1\pmod{7} então 3 e 5 são inversos.
Segue a tabela.

Passo 10

Construção e explicação da tabela de soma para \mathbb{Z}_{8}.
Elementos: \{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
Soma módulo 8. Exemplos: 7+3=10\equiv2\pmod{8}, 4+4=8\equiv0\pmod{8}.
Segue a tabela.

Passo 11

Tabela de produto para \mathbb{Z}_{8} com explicação.
Produto módulo 8. Como 8 é potência de 2 ( 8=2^3), há vários divisores de zero (por exemplo 2\cdot4=8\equiv0\pmod{8}). Apenas os ímpares 1,3,5,7 são coprimos com 8 e têm inversos multiplicativos.
Segue a tabela.

Resposta

Tabelas para \mathbb{Z}_{5}:
\begin{array}{c|ccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Tabelas para \mathbb{Z}_{6}:
\begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4 \\\\ 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 \\\\ 4 & 0 & 4 & 2 & 0 & 4 & 2 \\\\ 5 & 0 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Tabelas para \mathbb{Z}_{7}:
\begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \qquad \begin{array}{c|ccccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\\\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\\\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\\\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\\\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Tabelas para \mathbb{Z}_{8}:
\begin{array}{c|cccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 7 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccccccc} \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 3 & 0 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 & 6 & 3 \\ 6 & 0 & 6 & 4 & 2 & 0 & 6 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}

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