Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x pi sen xsen(2 x-pi)

Passo 1

O enunciado pede
limxto pisin xsin(2x-pi),
usando o limite fundamental
limtto 0sin tt=1
Para isso, vamos mudar de variável com h = x - pi, de modo que hto 0 quando xto pi, e expressar numerador e denominador em termos de h.

Passo 2

Escrevendo o numerador em função de h:
sin x = sin(pi + h) = -,sin h

Passo 3

Escrevendo o denominador em função de h:
sin(2x - pi) = sinl(2(pi+h)-pir) = sin(pi + 2h) = -,sin(2h)

Passo 4

Substituindo em sin xsin(2x-pi) e simplificando os sinais:
sin xsin(2x-pi) = -sin h-,sin(2h) = sin hsin(2h)

Passo 5

Aplicando o limite fundamental, observe que quando hto 0:
sin hsin(2h) = sin h/hsin(2h)/(2h)cdoth2h longrightarrow 11cdot12 = tfrac12

Resposta

12

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