Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x pi / 2 cos x2 x-pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto pi/2 cos x2x-pi,
sabendo que cos xto0 e 2x-pito0, configurando uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo é limites fundamentais, em particular
limtto0sin tt=1

Passo 2

Para usar esse limite, vamos reescrever o numerador em função de sin. Note que
cos x = cosl(tfracpi2 + (x-tfracpi2)r) = -sinl(x-tfracpi2r)

Passo 3

Definimos a mudança de variável
t = x - tfracpi2,
logo tto0 quando xto tfracpi2. Além disso
2x - pi = 2l(t + tfracpi2r)-pi = 2t
Substituindo no quociente, obtemos
cos x2x-pi = -sin(t)2t = -12;sin tt

Passo 4

Aplicando o limite fundamental limtto0sin tt=1, concluímos
limxto pi/2 cos x2x-pi = -12cdot 1 = -12

Resposta

-12

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