Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 0 sen(2 x) tg(3 x)1-cos (5 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0 sen(2x),tg(3x)1-cos(5x)
e sugere usar o limite fundamental limtto0sen tt=1 junto com substituições que aproximam sen tapprox t, tg tapprox t e a identidade 1-cos t=2sen^2(t/2).

Passo 2

Reescrevemos cada função de forma a extrair fatores lineares em x:
sen(2x)=2x;sen(2x)2x, tg(3x)=3x;tg(3x)3x, 1-cos(5x)=2sen^2!l(tfrac5x2r)
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sen(2x),tg(3x)1-cos(5x) =2x;sen(2x)2x;times;3x;tg(3x)3x 2sen^2!l(tfrac5x2r) =6x^22sen^2!l(tfrac5x2r) ;cdot;sen(2x)2x;tg(3x)3x

Passo 3

Aplicamos agora os limites conhecidos:
limxto0sen(2x)2x=1, limxto0tg(3x)3x=1, limxto0sen!l(tfrac5x2r)tfrac5x2=1
Portanto
limxto0sen^2!l(tfrac5x2r)l(tfrac5x2r)^2=1

Passo 4

Substituindo essas aproximações no fator principal, obtemos
limxto06x^22sen^2!l(tfrac5x2r) = limxto06x^22,l(tfrac5x2r)^2 = 62cdot254 = 6252 = 1225

Resposta

1225

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