O polinômio P(x)=x^4-3 x^3-2 x^2+12 x+m tem uma raiz dupla x=2; as outras raízes estão no conjunto:
d) 1,3,-2

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos o polinômio
P(x)=x^4-3x^3-2x^2+12x+m
e sabemos que x=2 é raiz dupla. Isso significa que (x-2)^2 divide P(x). Para encontrar as outras raízes, vamos usar fatoração polinomial e comparação de coeficientes.

Passo 2

Escrevendo P(x) como produto
Como (x-2)^2 é fator, escrevemos
P(x)=(x-2)^2l(x^2+ax+br)
e expandimos (x-2)^2(x^2+ax+b). Primeiro, note que
(x-2)^2=x^2-4x+4
Multiplicando:
(x^2-4x+4)(x^2+ax+b) =x^4+(a-4)x^3+(b-4a+4)x^2+(-4b+4a)x+4b

Passo 3

Comparando coeficientes
Vamos igualar os coeficientes obtidos com os de P(x)=x^4-3x^3-2x^2+12x+m.
Para x^3:
a-4 = -3 Longrightarrow a=1
Para x^2:
b -4a +4 = -2 Longrightarrow b -4cdot1 +4 = -2 Longrightarrow b=-2
Para x:
-4b+4a = 12 Longrightarrow -4(-2) +4cdot1 =8+4=12(confere)
Para a constante:
4b = m Longrightarrow m=4cdot(-2)=-8

Passo 4

Determinando as outras raízes
Com a=1 e b=-2, o fator quadrático é
x^2+x-2 = (x-1)(x+2)
Logo, as raízes desse fator são x=1 e x=-2.

Resposta

As raízes de P(x) são
x=2 (dupla), x=1, x=-2,
então as “outras raízes” além de 2 estão no conjunto ,1,-2.

Exercícios relacionados