Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x -pi / 2 1-sen x(2 x-pi)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto -pi/21-sen x(2x-pi)^2
usando, se necessário, transformações e o limite fundamental
limtto 0sen tt=1
Aqui vemos que, ao aproximar x de -pi/2, o numerador e o denominador tendem a valores não nulos, de modo que podemos usar simplesmente a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Calculamos o valor de cada parte no ponto x=-pi/2:
  1. Numerador:
limxto -pi/2l(1-sen xr) =1-senl(-tfracpi2r) =1-(-1) =2
  1. Denominador:
limxto -pi/2(2x-pi) =2l(-tfracpi2r)-pi =-pi-pi =-2pi,
portanto
limxto -pi/2(2x-pi)^2 =(-2pi)^2 =4pi^2

Passo 3

Como ambos os limites existem e o denominador não é zero, pela continuidade da divisão temos
limxto -pi/21-sen x(2x-pi)^2 = limxto -pi/2(1-sen x) limxto -pi/2(2x-pi)^2 =24pi^2 =12pi^2

Resposta

12pi^2

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