Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 0 1-cos x2 x^3+5 x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto01-cos x2x^3+5x^2,
usando identidade trigonométrica e o limite fundamental limtto0sin tt=1. Vamos transformar o numerador para envolver sin e fatorar x no denominador.

Passo 2

Usamos a identidade
1-cos x = 2sin^2!l(tfracx2r)
Assim o numerador fica
2sin^2!l(tfracx2r)

Passo 3

Escrevemos sin^2(tfracx2) em termos de tfracx2:
sin^2!l(tfracx2r) =l(tfracx2r)^2 l(sin(tfracx2)tfracx2r)^2
Logo o numerador vira
2l(tfracx2r)^2 l(sin(tfracx2)tfracx2r)^2 =x^22l(sin(tfracx2)tfracx2r)^2

Passo 4

No denominador fatoramos x^2:
2x^3+5x^2=x^2(2x+5)
Portanto o quociente é
tfracx^22l(sin(tfracx2)tfracx2r)^2 x^2(2x+5) =12,l(sin(tfracx2)tfracx2r)^22x+5

Passo 5

Fazendo xto0, temos
sin(tfracx2)tfracx2to1 e 2x+5to5. Assim
limxto01-cos x2x^3+5x^2 =12,1^25 =110

Resposta

110

Exercícios relacionados