Mostre que W=(x, y) in R^2 mid y=0 é um subespaço do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pediu para mostrar que o conjunto é um subespaço de . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Como para esse vetor, ele pertence a . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, precisamos ver se, ao somar dois vetores de , o resultado também está em . Se temos dois vetores e em , sua soma é . Como o componente ainda é zero, a soma está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se multiplicar qualquer vetor de por um escalar mantém o vetor em . Se temos um vetor em e multiplicamos por um escalar , obtemos . O componente continua zero, então o vetor resultante está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

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