Facat o que se pede: [2 pontos] ^2
(a) Mostre que T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x, y cos theta+z sin theta,-y sin theta+z cos theta) ortogonal.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = l(x,;ycostheta+zsintheta,;-ysintheta+zcosthetar)
e pede para mostrar que T é ortogonal. Isto significa que T deve preservar o produto escalar em R^3, ou seja,
lang<= T(u),T(v)rang<= = lang<= u,vrang<=
para todo u,vinR^3.

Passo 2

Sejam
u=(x,y,z), v=(x',y',z')
vetores arbitrários de R^3. Então
T(u) = l(x,;ycostheta+zsintheta,;-ysintheta+zcosthetar),
T(v) = l(x',;y'costheta+z'sintheta,;-y'sintheta+z'costhetar)

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre T(u) e T(v):
lang<= T(u),T(v)rang<= = x,x' + l(ycostheta+zsinthetar)l(y'costheta+z'sinthetar) + l(-ysintheta+zcosthetar)l(-y'sintheta+z'costhetar)

Passo 4

Expandindo e usando cos^2theta+sin^2theta=1 e vendo que os termos mistos se cancelam, obtemos
lang<= T(u),T(v)rang<= = xx' + yy' + zz' = lang<= u,vrang<=

Passo 5

Como T preserva o produto escalar para vetores arbitrários, concluímos que T é uma transformação ortogonal.

Resposta

A transformação T é ortogonal porque preserva o produto escalar em R^3.

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