Sejam A e B dois vectores não nulos de Vn. (a) Se A e B são paralelos, provar que A e B são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são vetores não nulos em Vn e que eles são paralelos. O que precisamos provar é que então existem escalares alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha A+beta B=0,
isto é, mostrar que A e B são linearmente dependentes.

Passo 2

Pela definição de paralelismo, como A e B são paralelos, existe algum escalar lambdainR tal que
A=lambda B

Passo 3

Para testar dependência linear, buscamos alpha,beta não simultaneamente zero satisfazendo
alpha A+beta B=0

Passo 4

Basta escolher
alpha=1 e beta=-lambda. Então
alpha A+beta B = A - lambda B = 0
e como alpha=1neq0, essa é uma combinação linear não trivial, mostrando que A e B são linearmente dependentes.

Resposta

A e B são linearmente dependentes.

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