Seja T a transformação linear de R^3 em R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+ y-z, x+2 y). Fixadas as bases A=(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1) e B=(-1,1),(0,1), de R^3 e R^2, respectivamente, e considerando v=(1,2,0) in R^3,
Determine o vetor-coordenadas de T(v) em relação à base B.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x+y-z,;x+2y),
as bases
A=(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1)subsetR^3, B=(-1,1),(0,1)subsetR^2,
e o vetor v=(1,2,0).
Queremos as coordenadas de T(v) na base B. Para isso, basta calcular T(v) em coordenadas canônicas e depois expressá-lo como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Calcular T(v) em coordenadas canônicas:
T(1,2,0) = l(2cdot1 + 2 - 0,;1 + 2cdot2r) = (4,5)

Passo 3

Buscamos escalares alpha,beta tais que
alpha,(-1,1);+;beta,(0,1);=;(4,5)

Passo 4

Igualando componente a componente:
-alpha = 4, alpha + beta = 5
Da primeira equação vem alpha=-4. Substituindo na segunda: -4 + beta = 5, logo beta = 9.

Resposta

O vetor–coordenadas de T(v) em relação à base B é (-4,9).

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