Um vetor A possui um módulo de 8 me faz um ângulo de 37^circ com o eixo times positivo e temos também o vetor B=3 ux-5 uy e o vetor C=-6 ux+3 uy, ambos em metros. Calcule: (a) D=A+C, (b) E=B-A, (c) F= A-2 B+3 C, (d) um vetor G tal que G-B=A+2 C+3 G.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado diz: temos três vetores em 2D
  • A tem módulo 8 m e faz 37° com o eixo x
  • B = 3 uₓ – 5 uᵧ
  • C = –6 uₓ + 3 uᵧ
Precisamos achar:
(a) 𝐃 = A + C
(b) 𝐄 = B – A
(c) 𝐅 = A – 2B + 3C
(d) um vetor 𝐆 que satisfaça 𝐆 – B = A + 2C + 3G
Matéria: decomposição de vetores em componentes, soma/subtração escalar e vetorial e resolução de equação vetorial.
O que vamos usar:
  1. trigonometria para achar Aₓ e Aᵧ,
  2. soma/complemento componente a componente,
  3. reorganizar termos para achar G.

Passo 2

Primeiro decompomos A em componentes usando
Ax = Acostheta, Ay = Asintheta
com A=8 m e theta=37^circ.
Como cos37^circapprox08 e sin37^circapprox06,
Ax = 8cdot08 = 64, Ay = 8cdot06 = 48
Logo A = (64,,48) em metros.

Passo 3

Agora a parte (a) e (b), que são soma e subtração de vetores:
(a) D = A + C.
Componentes de C são (-6,3), então
Dx = 64 + (-6) = 04, Dy = 48 + 3 = 78
(b) E = B - A.
B = (3, –5), A = (6.4, 4.8), então
Ex = 3 - 64 = -34, Ey = -5 - 48 = -98

Passo 4

(c) F = A - 2B + 3C.
-2B = –2·(3,–5) = (–6,10)
3C = 3·(–6,3) = (–18,9)
Somando tudo em A:
Fx = 64 + (6) + (18) = -176,
Fy = 48 + 10 + 9 = 238

Passo 5

(d) Queremos G de forma que
G - B = A + 2C + 3G
Reorganiza reunindo G do mesmo lado:
G - 3G = B + A + 2C
-2G = (3, -5) + (6.4,4.8) + 2cdot(-6,3)
Calcula a soma no lado direito:
(3+6.4-12,;-5+4.8+6) = (-2.6,,5.8)
Logo
G = -tfrac12,(-2.6,,5.8) = (1.3,,-2.9)

Resposta

(a) D = 04,ux + 78,uy
(b) E = -34,ux - 98,uy
(c) F = -176,ux + 238,uy
(d) G = 13,ux - 29,uy

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