[Fácil] Decida, usando o mdc obtido pelo algoritmo de Euclides, se as equações diofantinas a seguir têm solução inteira. Quando houver solução, explique por que há infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede para decidir, usando o mdc obtido pelo algoritmo de Euclides, se a equação diofantina
tem solução inteira. Quando houver solução, devo explicar por que existem infinitas soluções.
Dados relevantes do enunciado:
- Coeficientes:
e . - Termo independente:
. - Queremos soluções inteiras
. - Devemos usar o algoritmo de Euclides para obter o
.
Passo 2
Calcular o
pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Vou fazer as divisões e anotar os restos:
Quando o resto é
, o último resto não nulo é o
. Portanto
Explicação curta do porquê fiz isso: o algoritmo de Euclides repete divisões euclidianas até o resto ser zero; o último resto não nulo é o máximo divisor comum.
Passo 3
Usar a condição necessária e suficiente para existência de solução inteira da equação linear
:
Teorema (em palavras simples): A equação
tem solução inteira se, e somente se,
divide
.
Motivo: todo número da forma é múltiplo de
; portanto se existe solução precisa ter
. Reciprocamente, se
então dividindo toda a equação por
reduz-se a caso onde os coeficientes são coprimos, e então o algoritmo extendido de Euclides fornece uma combinação linear que iguala
, multiplicando depois por
dá uma solução.
Motivo: todo número da forma
No nosso caso temos
e o termo independente é
. Como
divide
, a condição é satisfeita. Conclusão inicial: existem soluções inteiras.
Passo 4
Agora vamos encontrar uma solução particular usando o algoritmo de Euclides estendido (retro-substituição nas divisões que fizemos).
Das divisões anteriores eu tenho:
E
Substituo a expressão de
na expressão de
:
Distribuindo e juntando termos de
e
:
Logo
ou seja
Isso nos dá uma solução particular:
Passo 5
Derivar a solução geral inteira e explicar por que há infinitas soluções.
Fatos padrão (e fáceis de verificar): se
é uma solução particular de
e
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
é qualquer inteiro (
). Isso funciona porque
No nosso caso
,
,
. Então
Usando a solução particular
, a solução geral inteira é
Por que são infinitas soluções? Porque
pode ser qualquer inteiro e cada valor distinto de
produz um par
inteiro diferente; não há restrição sobre
. Assim há uma família infinita de soluções.
Exemplo rápido para conferir: para
recuperamos
. Para
obtemos
e de fato
Resposta
Há solução inteira.
Uma solução particular é .
Todas as soluções inteiras são ,
.
Uma solução particular é
Todas as soluções inteiras são