[Fácil] Decida, usando o mdc obtido pelo algoritmo de Euclides, se as equações diofantinas a seguir têm solução inteira. Quando houver solução, explique por que há infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a equação diofantina
tem solução inteira. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- Os coeficientes são
(para ) e (para ). - O termo independente (lado direito) é
.
O que precisamos responder:
- Se existe solução inteira
. - Quando houver solução, mostrar por que existem infinitas soluções e fornecer sua forma geral.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o máximo divisor comum (mdc) de
e
usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Isso vai nos dizer a condição de existência de solução.
Realizamos as divisões:
Quando a última resto não nulo é
, isto significa que
Passo 3
Regra importante (critério de existência): a equação linear diofantina
tem solução inteira se, e somente se,
divide
.
Aqui
,
,
e
. Como
divide
(obviamente), a condição é satisfeita. Portanto existe pelo menos uma solução inteira para a equação dada.
Passo 4
Para simplificar a busca de uma solução particular, dividimos toda a equação por
. Isso reduz a equação para uma equivalente mais simples:
ou seja
Resolver
em inteiros vai nos dar uma solução para a equação original (qualquer solução desta, substituída em
, produz
).
Passo 5
Agora aplicamos o algoritmo de Euclides a
e
para obter os coeficientes da combinação linear (isto é, fazermos o algoritmo estendido):
Divisões:
Agora voltamos substituindo para escrever
como combinação linear de
e
. Da segunda linha temos
Da primeira linha temos
. Substituindo:
Agrupando os termos em
e
:
Portanto encontramos uma combinação:
Isto fornece uma solução particular da equação reduzida:
,
.
Passo 6
Verificação direta na equação original (para garantir que não houve erro ao dividir/voltar):
Substituindo ,
em
,
Substituindo
logo
é realmente uma solução da equação original.
Passo 7
Agora vamos obter todas as soluções inteiras. Teorema prático: se
e
é uma solução de
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
varia em
.
No nosso caso
,
,
, então
Usando a solução particular
, obtemos a forma geral:
Passo 8
Explicação por que há infinitas soluções: a fórmula acima mostra que para cada inteiro
obtemos uma solução diferente
. Como há infinitos inteiros
, existem infinitas soluções inteiras. Outra maneira de ver isso: se
e
são soluções, a diferença
satisfaz
ou seja, é solução não nula da equação homogênea. Todas as soluções inteiras da homogênea são geradas por
, então somando múltiplos inteiros deste vetor à solução particular obtemos todas as soluções — e há infinitos múltiplos inteiros.
Resposta
Sim — existe solução inteira.