[Fácil] Decida, usando o mdc obtido pelo algoritmo de Euclides, se as equações diofantinas a seguir têm solução inteira. Quando houver solução, explique por que há infinitas soluções.
252 x+105 y=21

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a equação diofantina
252x+105y=21
tem solução inteira. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • Os coeficientes são 252 (para x) e 105 (para y).
  • O termo independente (lado direito) é 21.
O que precisamos responder:
  • Se existe solução inteira (x,y).
  • Quando houver solução, mostrar por que existem infinitas soluções e fornecer sua forma geral.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o máximo divisor comum (mdc) de 252 e 105 usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Isso vai nos dizer a condição de existência de solução.
Realizamos as divisões:
252 = 105\cdot 2 + 42
105 = 42\cdot 2 + 21
42 = 21\cdot 2 + 0
Quando a última resto não nulo é 21, isto significa que
\gcd(252,105)=21.

Passo 3

Regra importante (critério de existência): a equação linear diofantina ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c.
Aqui a=252, b=105, c=21 e \gcd(252,105)=21. Como 21 divide 21 (obviamente), a condição é satisfeita. Portanto existe pelo menos uma solução inteira para a equação dada.

Passo 4

Para simplificar a busca de uma solução particular, dividimos toda a equação por d=\gcd(252,105)=21. Isso reduz a equação para uma equivalente mais simples:
\frac{252}{21}x+\frac{105}{21}y=\frac{21}{21}
ou seja
12x+5y=1.
Resolver 12x+5y=1 em inteiros vai nos dar uma solução para a equação original (qualquer solução desta, substituída em 252x+105y, produz 21).

Passo 5

Agora aplicamos o algoritmo de Euclides a 12 e 5 para obter os coeficientes da combinação linear (isto é, fazermos o algoritmo estendido):
Divisões:
12 = 5\cdot 2 + 2
5 = 2\cdot 2 + 1
2 = 1\cdot 2 + 0
Agora voltamos substituindo para escrever 1 como combinação linear de 12 e 5. Da segunda linha temos
1 = 5 - 2\cdot 2.
Da primeira linha temos 2 = 12 - 5\cdot 2. Substituindo:
1 = 5 - 2\cdot(12 - 5\cdot 2) = 5 - 2\cdot 12 + 4\cdot 5.
Agrupando os termos em 12 e 5:
1 = -2\cdot 12 + 5\cdot 5.
Portanto encontramos uma combinação:
12\cdot(-2) + 5\cdot 5 = 1.
Isto fornece uma solução particular da equação reduzida: x_0=-2, y_0=5.

Passo 6

Verificação direta na equação original (para garantir que não houve erro ao dividir/voltar):
Substituindo x=-2, y=5 em 252x+105y,
252\cdot(-2)+105\cdot 5 = -504 + 525 = 21,
logo (x,y)=(-2,5) é realmente uma solução da equação original.

Passo 7

Agora vamos obter todas as soluções inteiras. Teorema prático: se d=\gcd(a,b) e (x_0,y_0) é uma solução de ax+by=c, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}k,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}k,
onde k varia em \mathbb{Z}.
No nosso caso a=252, b=105, d=21, então
\frac{b}{d}=\frac{105}{21}=5,\qquad \frac{a}{d}=\frac{252}{21}=12.
Usando a solução particular (x_0,y_0)=(-2,5), obtemos a forma geral:
x = -2 + 5k,\qquad y = 5 - 12k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 8

Explicação por que há infinitas soluções: a fórmula acima mostra que para cada inteiro k obtemos uma solução diferente (x,y). Como há infinitos inteiros k, existem infinitas soluções inteiras. Outra maneira de ver isso: se (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são soluções, a diferença (x_1-x_2,y_1-y_2) satisfaz
252(x_1-x_2)+105(y_1-y_2)=0,
ou seja, é solução não nula da equação homogênea. Todas as soluções inteiras da homogênea são geradas por \left(\dfrac{b}{d},-\dfrac{a}{d}\right)=(5,-12), então somando múltiplos inteiros deste vetor à solução particular obtemos todas as soluções — e há infinitos múltiplos inteiros.

Resposta

Sim — existe solução inteira.
x=-2+5k,\\ y=5-12k,\\ k\in\mathbb{Z}

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