[Fácil] Usando o algoritmo de Euclides estendido, escreva a identidade
para cada par
abaixo, encontrando inteiros
e
.
Passo 1
O enunciado dá o par
e pede que eu escreva a identidade de Bézout
encontrando inteiros
e
. Portanto, preciso:
- calcular
; - encontrar inteiros
e tais que .
Passo 2
Explicação rápida do método que vou usar (Algoritmo de Euclides estendido):
- Primeiro aplicamos o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para obter o máximo divisor comum como o último resto não nulo.
- Depois fazemos a “substituição para trás” (back-substitution) nas escritas das divisões para expressar esse resto final como combinação inteira dos números iniciais; isso nos dá os coeficientes
e .
Relembrando a divisão euclidiana: dados inteiroscom , existe tais que
Passo 3
Faço as divisões sucessivas entre
e
:
Passo 4
O último resto não nulo é
, portanto
Agora vamos expressar
como combinação inteira de
e
usando as igualdades acima (back-substitution).
Passo 5
Começo a partir da penúltima igualdade (onde apareceu o resto
):
Passo 6
Usando
(da divisão anterior), substituo na expressão de
:
Passo 7
Usando
, substituo na expressão anterior:
Passo 8
Usando
, substituo:
Junto os termos em
:
Passo 9
Usando
, substituo:
Junto os termos em
:
Passo 10
Usando
(da primeira divisão), substituo:
Junto os termos em
: