[Fácil] Usando o algoritmo de Euclides estendido, escreva a identidade
\operatorname{mdc}(a, b)=a u+b v
para cada par (a, b) abaixo, encontrando inteiros u e v.
(a, b)=(126,45)

Passo 1

O enunciado pede: escrever a identidade
\operatorname{mdc}(a,b)=a\,u+b\,v
para o par (a,b)=(126,45), isto é, encontrar inteiros u e v tais que a igualdade abaixo seja verdadeira:
\operatorname{mdc}(126,45)=126\,u+45\,v.
As informações dadas são apenas os números 126 e 45 e a exigência de usar (implicitamente) o algoritmo estendido para obter u e v.

Passo 2

Primeiro vamos calcular \operatorname{mdc}(126,45) pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Fazemos divisões sucessivas e anotamos quocientes e restos:
126 = 45\cdot 2 + 36
45 = 36\cdot 1 + 9
36 = 9\cdot 4 + 0
Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o \operatorname{mdc}. Portanto
\operatorname{mdc}(126,45)=9.

Passo 3

Agora precisamos escrever 9 como combinação linear de 126 e 45. Para isso usamos as equações das divisões e fazemos substituições (este é o passo central do algoritmo de Euclides estendido). Reescrevemos os restos das divisões como expressões:
Da primeira divisão obtivemos
36 = 126 - 45\cdot 2.
Da segunda divisão obtivemos
9 = 45 - 36\cdot 1.

Passo 4

Substituímos a expressão de 36 (da primeira linha) na expressão de 9 (da segunda linha). Ou seja, em
9 = 45 - 36\cdot 1
troca-se 36 por 126 - 45\cdot 2. Fazendo isso com calma:
9 = 45 - \big(126 - 45\cdot 2\big)\cdot 1.

Passo 5

Desenvolvendo a expressão passo a passo (distribuindo e recolhendo termos):
9 = 45 - \big(126 - 45\cdot 2\big)
9 = 45 - 126 + 45\cdot 2
9 = -126 + 45 + 45\cdot 2
9 = -126 + 45\cdot(1+2)
9 = -126 + 45\cdot 3.

Passo 6

Agora está explícito 9 como combinação linear de 126 e 45. Comparando com a forma 9=126\,u+45\,v, vemos que
u = -1,\qquad v = 3.
Vamos checar rapidamente: 126\cdot(-1)+45\cdot 3 = -126+135=9, que é de fato o \operatorname{mdc}.

Resposta

\operatorname{mdc}(126,45)=9=126\cdot(-1)+45\cdot 3

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