[Revisão] Use o algoritmo de Euclides para calcular o \operatorname{mdc}(a, b) nos pares abaixo, escrevendo todas as divisões sucessivas:
\operatorname{mdc}(1402,1969)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o \operatorname{mdc}(1402,1969) usando o algoritmo de Euclides, escrevendo todas as divisões sucessivas.
Dados fornecidos: \;1402 e \;1969.

Passo 2

O que é o algoritmo de Euclides (explicação curta e didática)?
  • Para dois inteiros positivos \;a e \;b com \;a<b, dividimos \;b por \;a e obtemos um quociente e um resto: \;b = q a + r com 0 \le r < a.
  • Teorema chave: \gcd(a,b)=\gcd(a,r). Ou seja, o máximo divisor comum não muda se substituirmos o maior número pelo resto da divisão. Repetimos o processo até o resto ser zero; então o último resto não nulo é o \gcd.
    Vou aplicar isso passo a passo em todas as divisões sucessivas.

Passo 3

Primeira divisão (dividimos o maior pelo menor):
1969 = 1\cdot 1402 + 567
Verificação: 1\cdot 1402 = 1402 e 1969-1402 = 567. O resto é \;567.

Passo 4

Segunda divisão (agora dividimos 1402 por 567):
1402 = 2\cdot 567 + 268
Verificação: 2\cdot 567 = 1134 e 1402-1134 = 268. O resto é \;268.

Passo 5

Terceira divisão (dividimos 567 por 268):
567 = 2\cdot 268 + 31
Verificação: 2\cdot 268 = 536 e 567-536 = 31. O resto é \;31.

Passo 6

Quarta divisão (dividimos 268 por 31):
268 = 8\cdot 31 + 20
Verificação: 8\cdot 31 = 248 e 268-248 = 20. O resto é \;20.

Passo 7

Quinta divisão (dividimos 31 por 20):
31 = 1\cdot 20 + 11
Verificação: 1\cdot 20 = 20 e 31-20 = 11. O resto é \;11.

Passo 8

Sexta divisão (dividimos 20 por 11):
20 = 1\cdot 11 + 9
Verificação: 1\cdot 11 = 11 e 20-11 = 9. O resto é \;9.

Passo 9

Sétima divisão (dividimos 11 por 9):
11 = 1\cdot 9 + 2
Verificação: 1\cdot 9 = 9 e 11-9 = 2. O resto é \;2.

Passo 10

Oitava divisão (dividimos 9 por 2):
9 = 4\cdot 2 + 1
Verificação: 4\cdot 2 = 8 e 9-8 = 1. O resto é \;1.

Passo 11

Nona divisão (dividimos 2 por 1):
2 = 2\cdot 1 + 0
O resto agora é \;0. Pelo algoritmo de Euclides, quando o resto é zero, o \gcd é o último resto não nulo, que aqui é \;1.

Passo 12

Interpretação final e comentário rápido: como o último resto não nulo é \;1, os números \;1402 e \;1969 são primos entre si (ou seja, são coprimos). Bom trabalho por chegar até aqui — isso é exatamente o que a prova costuma pedir: listar as divisões até o resto zero.

Resposta

\operatorname{mdc}(1402,1969)=1

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