Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
2
2
3
10
13
11
1 5
15
16
126
18
18
20
21
22
22
2 3
24
25
25
26
27
22
29
30
32
3 6
42
44
45
45
46
4
52
58
59
6 1
61
61
65
66
66
6
75
78
80
8
90
92
97
8
9
a) Utilizando cinco classes, apresente uma tabela com as frequências absoluta, relativa e relativa percentual, seguida das respectivas frequências acumuladas.
b) Com base na tabela do item (a) construa um histograma utilizando a frequência absoluta e em seguida calcule sua área total.
c) Apresente um histograma em que sua área total seja igual a 1. Como foram obtidos os valores do eixo vertical?
2 | 2 | 3 | 10 | 13 | 11 | 1 5 | 15 | 16 | 126 |
18 | 18 | 20 | 21 | 22 | 22 | 2 3 | 24 | 25 | 25 |
26 | 27 | 22 | 29 | 30 | 32 | 3 6 | 42 | 44 | 45 |
45 | 46 | 4 | 52 | 58 | 59 | 6 1 | 61 | 61 | 65 |
66 | 66 | 6 | 75 | 78 | 80 | 8 | 90 | 92 | 97 |
8 | 9 |
c) Apresente um histograma em que sua área total seja igual a 1. Como foram obtidos os valores do eixo vertical?
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tamanho
de quarteirões com número de casas variando de 1 a 126. Precisamos:
– (a) montar uma distribuição em cinco classes, com frequências absoluta , relativa
, percentual e acumuladas;
– (b) construir o histograma usando e calcular a área total;
– (c) construir o histograma normalizado (área total igual a 1) e explicar como surgem os valores no eixo vertical (densidade).
– (a) montar uma distribuição em cinco classes, com frequências absoluta
– (b) construir o histograma usando
– (c) construir o histograma normalizado (área total igual a 1) e explicar como surgem os valores no eixo vertical (densidade).
Passo 2
Determinar o intervalo total e a largura de classe.
Como queremos
classes, a largura aproximada é
Passo 3
Definir as cinco classes consecutivas de amplitude
, cobrindo toda a variação:
Contar em cada classe as
:
– : 23 valores
– : 10 valores
– : 10 valores
– : 6 valores
– : 1 valor
–
–
–
–
–
Passo 4
Calcular as frequências relativas
, percentuais
e acumuladas
(e
).
Passo 5
Organizar tudo na tabela:
Classe | Limites |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 |
|
23 | 0,46 | 46 % | 23 |
|
|
10 | 0,20 | 20 % | 33 |
|
|
10 | 0,20 | 20 % | 43 |
|
|
6 | 0,12 | 12 % | 49 |
|
|
1 | 0,02 | 2 % | 50 | 1,00 |
Passo 6
Histograma com frequência absoluta: em cada classe a base é
e a altura é
.
A área de cada retângulo é , logo a área total é
A área de cada retângulo é
Passo 7
Para que a área total seja 1, usamos densidades no eixo vertical. A densidade de cada classe é
Assim o histograma normalizado tem base
e altura
, garantindo
.
Resposta
(a) Tabela:
Classe | Limites |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 |
|
23 | 0,46 | 46 % | 23 |
|
|
10 | 0,20 | 20 % | 33 |
|
|
10 | 0,20 | 20 % | 43 |
|
|
6 | 0,12 | 12 % | 49 |
|
|
1 | 0,02 | 2 % | 50 | 1,00 |
(b) Histograma com alturas
e base
; área total
.
(c) Histograma normalizado com alturas
(c) Histograma normalizado com alturas
de modo que
. No eixo vertical aparecem essas densidades.