Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
2 2 3 10 13 11 1 5 15 16 126
18 18 20 21 22 22 2 3 24 25 25
26 27 22 29 30 32 3 6 42 44 45
45 46 4 52 58 59 6 1 61 61 65
66 66 6 75 78 80 8 90 92 97
8 9
a) Utilizando cinco classes, apresente uma tabela com as frequências absoluta, relativa e relativa percentual, seguida das respectivas frequências acumuladas.
b) Com base na tabela do item (a) construa um histograma utilizando a frequência absoluta e em seguida calcule sua área total.
c) Apresente um histograma em que sua área total seja igual a 1. Como foram obtidos os valores do eixo vertical?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=50 de quarteirões com número de casas variando de 1 a 126. Precisamos:
– (a) montar uma distribuição em cinco classes, com frequências absoluta f_i, relativa f_i/n, percentual e acumuladas;
– (b) construir o histograma usando f_i e calcular a área total;
– (c) construir o histograma normalizado (área total igual a 1) e explicar como surgem os valores no eixo vertical (densidade).

Passo 2

Determinar o intervalo total e a largura de classe.
\text{mínimo}=1,\quad \text{máximo}=126,\quad R=\text{máximo}-\text{mínimo}=125.íááí
Como queremos k=5 classes, a largura aproximada é
h=\frac{R}{k}=\frac{125}{5}=25.

Passo 3

Definir as cinco classes consecutivas de amplitude 25, cobrindo toda a variação:
[1,26],\;(26,51],\;(51,76],\;(76,101],\;(101,126].
Contar em cada classe as f_i:
[1,26]: 23 valores
(26,51]: 10 valores
(51,76]: 10 valores
(76,101]: 6 valores
(101,126]: 1 valor

Passo 4

Calcular as frequências relativas f_i/n, percentuais (f_i/n)\times100\% e acumuladas F_i (e F_i/n).

Passo 5

Organizar tudo na tabela:
Classe Limites f_i f_i/n (f_i/n)\cdot100\% F_i F_i/n
1 [1,26] 23 0,46 46 % 23 0,462 (26,51] 10 0,20 20 % 33 0,663 (51,76] 10 0,20 20 % 43 0,864 (76,101] 6 0,12 12 % 49 0,985 (101,126] 1 0,02 2 % 50 1,00

Passo 6

Histograma com frequência absoluta: em cada classe a base é h=25 e a altura é f_i.
A área de cada retângulo é f_i \times h, logo a área total é
\sum_{i=1}^{5}(f_i \cdot 25)=25\sum_{i=1}^{5}f_i=25\cdot50=1250.

Passo 7

Para que a área total seja 1, usamos densidades no eixo vertical. A densidade de cada classe é
d_i=\frac{f_i}{n\cdot h}=\frac{f_i/50}{25}.
Assim o histograma normalizado tem base 25 e altura d_i, garantindo \sum_i(d_i\cdot25)=1.

Resposta

(a) Tabela:
Classe Limites f_i f_i/50 (f_i/50)\cdot100\% F_i F_i/50
1 [1,26] 23 0,46 46 % 23 0,462 (26,51] 10 0,20 20 % 33 0,663 (51,76] 10 0,20 20 % 43 0,864 (76,101] 6 0,12 12 % 49 0,985 (101,126] 1 0,02 2 % 50 1,00
(b) Histograma com alturas f_i e base 25; área total 1250.
(c) Histograma normalizado com alturas
d_i=\frac{f_i}{50\cdot25},
de modo que \sum_i(d_i\cdot25)=1. No eixo vertical aparecem essas densidades.

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