Ex. 9 Três jogadores recebem, cada um, de forma aleatória, cinco cartas de um baralho de 52 cartas. Quatro das 52 cartas são ases. Determine a probabilidade de que pelo menos uma pessoa receba exatamente dois ases em suas cinco cartas.
Passo 1
O enunciado diz que temos um baralho de 52 cartas com 4 ases e que três jogadores recebem, sem reposição, 5 cartas cada um. Queremos a probabilidade de que pelo menos um jogador tenha exatamente dois ases em sua mão de 5 cartas. O conteúdo necessário é a distribuição hipergeométrica para cada mão e o princípio da inclusão-exclusão para combinar os jogadores.
Passo 2
Defina
o evento “o jogador
recebe exatamente 2 ases”. Para um jogador isolado, por hipergeométrica,
Numericamente,
,
e
, logo
Passo 3
Para dois jogadores distintos
e
, o evento
significa que ambos pegam exatamente 2 ases. Primeiro um pega 2 ases e 3 não-ases, depois o outro pega os 2 ases restantes e mais 3 não-ases entre as 47 cartas que sobram. Assim,
Com
e
, obtém-se
Passo 4
Pelo princípio da inclusão-exclusão, a probabilidade de que pelo menos um jogador tenha exatamente 2 ases é
pois
(não há 6 ases no baralho). Substituindo:
Resposta
A probabilidade pedida é aproximadamente
.