Ex. 9 Três jogadores recebem, cada um, de forma aleatória, cinco cartas de um baralho de 52 cartas. Quatro das 52 cartas são ases. Determine a probabilidade de que pelo menos uma pessoa receba exatamente dois ases em suas cinco cartas.

Passo 1

O enunciado diz que temos um baralho de 52 cartas com 4 ases e que três jogadores recebem, sem reposição, 5 cartas cada um. Queremos a probabilidade de que pelo menos um jogador tenha exatamente dois ases em sua mão de 5 cartas. O conteúdo necessário é a distribuição hipergeométrica para cada mão e o princípio da inclusão-exclusão para combinar os jogadores.

Passo 2

Defina A_i o evento “o jogador i recebe exatamente 2 ases”. Para um jogador isolado, por hipergeométrica,
P(A_i) =\frac{\binom{4}{2}\,\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}}.
Numericamente, \binom{4}{2}=6, \binom{48}{3}=17\,296 e \binom{52}{5}=2\,598\,960, logo
P(A_i)=\frac{6\cdot17\,296}{2\,598\,960}\approx0,03993.

Passo 3

Para dois jogadores distintos i e j, o evento A_i\cap A_j significa que ambos pegam exatamente 2 ases. Primeiro um pega 2 ases e 3 não-ases, depois o outro pega os 2 ases restantes e mais 3 não-ases entre as 47 cartas que sobram. Assim,
P(A_i\cap A_j) =\frac{\binom{4}{2}\,\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} \;\times\; \frac{\binom{2}{2}\,\binom{45}{3}}{\binom{47}{5}}.
Com \binom{45}{3}=14\,190 e \binom{47}{5}=1\,533\,939, obtém-se
P(A_i\cap A_j)\approx0,0003694.

Passo 4

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a probabilidade de que pelo menos um jogador tenha exatamente 2 ases é
P\bigl(A_1\cup A_2\cup A_3\bigr) =3\,P(A_i)\;-\;3\,P(A_i\cap A_j),
pois P(A_1\cap A_2\cap A_3)=0 (não há 6 ases no baralho). Substituindo:
P\bigl(A_1\cup A_2\cup A_3\bigr) =3\cdot0,03993\;-\;3\cdot0,0003694 \approx0,1187.

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente 0,1187.

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