Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:
2 2 3 10 13 12 11 15 16 116
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 2 9 29 30 32 3 6 42 44 45
45 46 4 8 52 58 59 6 1 61 61 65
66 66 6 8 75 78 80 8 9 90 92 97
a) Determine uma medida de posição central e uma medida de dispersão para estes dados.
b) Determine o coeficiente de assimetria e o coeficiente de variação.

Passo 1

Resumindo, temos uma amostra de n=50 quarteirões com o número de casas em cada um. O que vamos calcular:
  1. Uma medida de posição central (vamos usar a média aritmética \bar x).
  2. Uma medida de dispersão (vamos usar o desvio‐padrão amostral s).
  3. O coeficiente de assimetria (usaremos o coeficiente de Pearson (\bar x - \text{mediana})/s).
  4. O coeficiente de variação \displaystyle CV = \frac{s}{\bar x}.

Passo 2

Para achar a média somamos todos os valores e dividimos por 50. Já reorganizando os 50 dados em ordem crescente, a soma total foi
\sum_{i=1}^{50} x_i = 2115.
Logo
\bar x = \frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50} x_i = \frac{2115}{50} = 42{,}30.

Passo 3

Para o desvio‐padrão amostral precisamos da soma dos quadrados e da variância amostral. Já calculamos
\sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 128053.
A variância amostral é
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{128053 - 50\,(42{,}30)^2}{49} \approx 787{,}52,
de onde
s = \sqrt{787{,}52}\approx 28{,}07.

Passo 4

Como vamos usar a mediana na assimetria de Pearson, determinamos a mediana dos 50 valores. Em ordem crescente, a mediana é a média do 25.º e do 26.º valores:
\text{mediana} = \frac{32 + 36}{2} = 34.

Passo 5

O coeficiente de assimetria de Pearson é
\gamma_1 = \frac{\bar x - \text{mediana}}{s} = \frac{42{,}30 - 34}{28{,}07} \approx 0{,}30.
Como \gamma_1>0, há assimetria positiva (cauda à direita).

Passo 6

O coeficiente de variação mede o desvio‐padrão em relação à média:
CV = \frac{s}{\bar x} = \frac{28{,}07}{42{,}30} \approx 0{,}66\;(\text{ou }66\%).

Resposta

Média aritmética \bar x = 42{,}30, desvio‐padrão amostral s \approx 28{,}07.
Coeficiente de assimetria \gamma_1 \approx 0{,}30.
Coeficiente de variação CV \approx 0{,}66 (ou 66\%).

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