Fale sobre a Lei de Gauss. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede para falar sobre a Lei de Gauss no contexto de eletromagnetismo. O conteúdo envolve entender o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e sua relação com a carga elétrica envolvida. Para isso vamos precisar dos conceitos de fluxo elétrico, superfície fechada (ou gaussiana) e carga elétrica contida.

Passo 2

A forma integral da Lei de Gauss afirma que o fluxo do campo elétrico E através de qualquer superfície fechada partial V é igual à carga total Qint envolvida dividida pela permissividade do meio varepsilon0. Em fórmula:
ointpartial V Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0
Aqui dA é o vetor área elemento, apontando para fora da superfície.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss em cálculo vetorial), podemos converter a lei integral em forma diferencial. O teorema diz
ointpartial V Ecdot dA =integralV (nabla!cdotE),dV
Comparando com a forma integral da Lei de Gauss, tendo Qint=integralV rho,dV, obtemos
nabla!cdotE = rhovarepsilon0,
onde rho é a densidade volumétrica de carga. Essa é a forma local da Lei de Gauss.

Passo 4

Em termos práticos, a Lei de Gauss é muito útil para calcular E quando existe alta simetria na distribuição de cargas. Escolhe-se uma superfície gaussiana que respeite a simetria (esférica, cilíndrica ou planar) de modo que E seja constante em módulo e direção sobre partes da superfície, facilitando a avaliação do fluxo.

Passo 5

Alguns exemplos típicos de aplicação:
  1. Carga pontual q no centro de uma esfera de raio R. A superfície gaussiana é uma esfera concentricamente. Daí
Ecdot 4pi R^2 = qvarepsilon0 Longrightarrow E = 14pivarepsilon0qR^2
  1. Linha infinita com densidade linear lambda. Escolhe-se um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. O fluxo pela parede lateral é
Ecdot (2pi r L) = lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E = lambda2pivarepsilon0,r
  1. Plano infinito com densidade superficial sigma. Usa-se um “túmulo” retangular atravessando o plano. O fluxo total dá
2E A = sigma Avarepsilon0 Longrightarrow E = sigma2varepsilon0

Resposta

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica total interna dividida por varepsilon0. Em forma integral:
ointpartial VEcdot dA =Qintvarepsilon0,
e em forma diferencial:
nabla!cdotE=rhovarepsilon0
Ela é fundamental para calcular campos elétricos em distribuições com simetria (esférica, cilíndrica ou planar).

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