1^a Questão - Ocorre um processo com 1 mol de um gás ideal diatômico tal que P=KV. No inicio, a pressão é 1000 Pa e o volume 0,1 m^3 e no final o volume é de 0,3 m^3. Pede-se para este processo:
a) O trabalho realizado;
b) A variação da energia interna;
c) A capacidade térmica molar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um processo envolvendo 1 mol de um gás ideal diatômico onde a pressão P está relacionada ao volume V pela equação P = K cdot V . No início, a pressão é de 1000 Pa e o volume é de 0,1 , m^3 . No final, o volume aumenta para 0,3 , m^3 .
Vamos precisar usar os conceitos de termodinâmica relacionados aos gases ideais, especificamente:
  • Trabalho realizado pelo gás durante o processo.
  • Variação da energia interna do gás.
  • Capacidade térmica molar do gás.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

a) Trabalho realizado
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Para um processo onde a pressão depende do volume de forma linear ( P = K cdot V ), o trabalho W é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralVi^Vf P , dV = integralVi^Vf K cdot V , dV
Onde:
  • Vi = 0,1 , m^3 é o volume inicial.
  • Vf = 0,3 , m^3 é o volume final.
Antes de integrar, precisamos encontrar o valor de K . Sabemos que no início do processo:
Pi = K cdot Vi implies K = PiVi = 1000 , Pa0,1 , m^3 = 10,000 , Pa/m^3
Agora, substituímos K na expressão do trabalho:
W = 10,000 integral0,1^0,3 V , dV = 10,000 [ V^22 ]0,1^0,3 = 10,000 ( 0,3^22 - 0,1^22 )
Calculando:
W = 10,000 ( 0,092 - 0,012 ) = 10,000 ( 0,045 - 0,005 ) = 10,000 times 0,04 = 400 , J

Passo 3

b) Variação da energia interna
A variação da energia interna De<a U para um gás ideal depende apenas da variação de temperatura e da capacidade térmica à volume constante. A fórmula é:
De<a U = n cdot CV cdot De<a T
Onde:
  • n = 1 , mol é a quantidade de substância.
  • CV é a capacidade térmica molar a volume constante para um gás diatômico.
Para um gás diatômico, em temperatura suficiente (onde vibrações não são consideradas), CV = 52 , R , onde R é a constante dos gases ideais ( R approx 8,314 , J/mol·K ).
Primeiro, precisamos encontrar a variação de temperatura De<a T . Usando a equação dos gases ideais:
P cdot V = n cdot R cdot T implies T = P cdot Vn cdot R
Calculando a temperatura inicial Ti :
Ti = Pi cdot Vin cdot R = 1000 , Pa cdot 0,1 , m^31 , mol cdot 8,314 , J/mol·K approx 12,02 , K
Temperatura final Tf :
Tf = Pf cdot Vfn cdot R
Mas como P = K cdot V , então Pf = K cdot Vf = 10,000 , Pa/m^3 cdot 0,3 , m^3 = 3000 , Pa .
Tf = 3000 , Pa cdot 0,3 , m^31 , mol cdot 8,314 , J/mol·K approx 108,36 , K
Agora, a variação de temperatura:
De<a T = Tf - Ti = 108,36 , K - 12,02 , K = 96,34 , K
Então, a variação da energia interna é:
De<a U = 1 , mol cdot 52 cdot 8,314 , J/mol·K cdot 96,34 , K approx 2,5 cdot 8,314 cdot 96,34 approx 2007,9 , J

Passo 4

c) Capacidade térmica molar
A capacidade térmica molar C em um processo específico pode ser definida pela relação entre a quantidade de calor Q absorvida e a variação de temperatura De<a T :
C = QDe<a T
Mas, primeiro, precisamos encontrar Q . Usando a primeira lei da termodinâmica:
De<a U = Q - W implies Q = De<a U + W
Já calculamos De<a U approx 2007,9 , J e W = 400 , J . Então:
Q = 2007,9 , J + 400 , J = 2407,9 , J
Agora, a capacidade térmica molar:
C = 2407,9 , J96,34 , K approx 25 , J/mol·K

Resposta

a) O trabalho realizado pelo gás é de 400 J.
b) A variação da energia interna é de aproximadamente 2007,9 J.
c) A capacidade térmica molar no processo é de aproximadamente 25 J/mol·K.

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