Questão - Ocorre um processo com 1 mol de um gás ideal diatômico tal que
. No inicio, a pressão é 1000 Pa e o volume
e no final o volume é de
. Pede-se para este processo:
a) O trabalho realizado;
b) A variação da energia interna;
c) A capacidade térmica molar.
a) O trabalho realizado;
b) A variação da energia interna;
c) A capacidade térmica molar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um processo envolvendo 1 mol de um gás ideal diatômico onde a pressão
está relacionada ao volume
pela equação
. No início, a pressão é de 1000 Pa e o volume é de
. No final, o volume aumenta para
.
Vamos precisar usar os conceitos de termodinâmica relacionados aos gases ideais, especificamente:
- Trabalho realizado pelo gás durante o processo.
- Variação da energia interna do gás.
- Capacidade térmica molar do gás.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.
Passo 2
a) Trabalho realizado
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão. Para um processo onde a pressão depende do volume de forma linear (
), o trabalho
é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Onde:
-
é o volume inicial. -
é o volume final.
Antes de integrar, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que no início do processo:
Agora, substituímos
na expressão do trabalho:
Calculando:
Passo 3
b) Variação da energia interna
A variação da energia interna
para um gás ideal depende apenas da variação de temperatura e da capacidade térmica à volume constante. A fórmula é:
Onde:
-
é a quantidade de substância. -
é a capacidade térmica molar a volume constante para um gás diatômico.
Para um gás diatômico, em temperatura suficiente (onde vibrações não são consideradas),
, onde
é a constante dos gases ideais (
).
Primeiro, precisamos encontrar a variação de temperatura
. Usando a equação dos gases ideais:
Calculando a temperatura inicial
:
Temperatura final
:
Mas como
, então
.
Agora, a variação de temperatura:
Então, a variação da energia interna é:
Passo 4
c) Capacidade térmica molar
A capacidade térmica molar
em um processo específico pode ser definida pela relação entre a quantidade de calor
absorvida e a variação de temperatura
:
Mas, primeiro, precisamos encontrar
. Usando a primeira lei da termodinâmica:
Já calculamos
e
. Então:
Agora, a capacidade térmica molar:
Resposta
a) O trabalho realizado pelo gás é de 400 J.
b) A variação da energia interna é de aproximadamente 2007,9 J.
c) A capacidade térmica molar no processo é de aproximadamente 25 J/mol·K.