O que é FALSO afirmar sobre uma transformação linear T: V \rightarrow W :
  1. T(u+v)=T(u)+T(v), \forall u, v \in V.
  2. T(u \cdot v)=T(u) \cdot T(v), \forall u, v \in V.
  3. T(\alpha u)=\alpha T(u), \forall u \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}.
  4. T\left(0_{V}\right)=0_{W}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das afirmações sobre uma transformação linear T\colon V\to W é falsa. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear e suas propriedades imediatas.

Passo 2

Por definição, T é linear se e somente se, para todos u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R}, valem simultaneamente:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Dessas propriedades seguem outras, como T(0_V)=0_W.

Passo 3

Analisando a afirmação 1: “ T(u+v)=T(u)+T(v), \forall u,v\in V”.
Isso faz parte da definição de linearidade, portanto é sempre verdadeiro.

Passo 4

Analisando a afirmação 2: “ T(u\cdot v)=T(u)\cdot T(v), \forall u,v\in V”.
Em geral vetores não têm um produto interno ou externo que seja preservado por toda transformação linear, e a definição de linearidade não exige conservação de qualquer produto entre vetores. Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 3: “ T(\alpha u)=\alpha\,T(u), \forall u\in V,\;\forall \alpha\in\mathbb{R}”.
Também faz parte da definição de linearidade, então é sempre verdadeiro.

Passo 6

Analisando a afirmação 4: “ T(0_V)=0_W”.
Essa propriedade decorre das duas condições de linearidade aplicadas a 0_V=0\cdot u. Portanto é verdadeira.

Resposta

A única afirmação falsa é a 2).

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